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新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86） 1、略. 2、略. 3、，，. 练习（P89） 1、（1）； （2）； （3）. 2、（1）； （2）； （3）. 3、如图. 练习（P92） 1、. 2、解：因为， 所以 所以 3、解：因为 所以，，又知. 所以，，又知. 所以. 练习（P94） 1、向量与，一定构成空间的一个基底. 否则与，共面， 于是与，共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：； （2）. 练习（P97） 1、（1）； （2）； （3）； （4）2. 2、略. 3、解：分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，， 所以，，. 所以，. 习题3.1 A组（P97） 1、解：如图，（1）； （2）； （3）设点是线段的中点， 则； （4）设点是线段的三等分点，则. 向量如图所示. 2、. 3、解： 所以，. 4、（1）； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 5、（1）； （2）略. 6、向量的横坐标不为0，其余均为0；向量的纵坐标不为0，其余均为0；向量的竖坐标不为0，其余均为0. 7、（1）9； （2）. 8、解：因为，所以，即，解得. 9、解：， 设的中点为，， 所以，点的坐标为， 10、解：以分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则的坐标分别为：，，，. ， 所以， 由于异面直线和所成的角的范围是 因此，和所成的角的余弦值为. 11、 习题3.1 B组（P99） 1、证明：由已知可知，， ∴ ，，所以，. ∴ ，. ∴ ，，. ∴ . 2、证明：∵ 点分别是的中点. ∴ ，，所以 ∴四边形是平行四边形. ∵ ，（已知），. ∴ ≌（） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 平行四边形□是矩形. 3、已知：如图，直线平面，直线平面，为垂足. 求证：∥ 证明：以点为原点，以射线方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系，分别为沿轴、 轴、轴的坐标向量，且设. ∵ . ∴ ，. ∴ ，. ∴ . ∴ . ∴ ∥，又知为两个不同的点. ∴ ∥. 3．2立体几何中的向量方法 练习（P104） 1、（1），∥； （2），⊥； （3），∥. 2、（1），； （2），∥； （3），与相交，交角的余弦等于. 练习（P107） 1、证明：设正方形的棱长为1. ，. 因为，所以. 因为，所以. 因此平面. 2、解： ∴ 练习（P111） 1、证明： ∴ . 同理可证. 2、解：（或） ， 所以 . 3、证明：以点为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：，，，，. ∵ ∴ 习题3.2 A组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1 （1）， ,，. （2）， ，. 2、证明：设正方体的棱长为1 因为，所以. 因为，所以. 因此，平面. 3、证明： ∵， ∴. 4、证明： （1）因为， 所以. 因为， 所以. 因此，平面. （2）设正方体的棱长为1 因为， 所以 . 因此与平面的 所成角的余弦. 5、解：（1） 所以， （2）， ， 点到平面的距离. 6、解：（1）设，作于点，连接. 以点为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系，得下列坐标： ，，，，. ∴，，. ∴ 与平面所成角等于. （2）. 所以，与所成角等于. （3）设平面的法向量为， 则， . 解得 ， 显然为平面的法向量. ，. 因此，二面角的余弦. 7、解：设点的坐标为，则. 因为∥，所以. 因为，所以. 解得，，，或，，. 8、解：以点为原点建立坐标系，得下列坐标：，，， ，，. （1）. （2）， 9、解：以点为原点建立坐标系，得下列坐标：，，， ，，. 因为，， 所以，，. 10、解：以点为原点建立坐标系，得下列坐标：，，， . 因为，所以. 由， 解得， ， 因此，线段与平面所成的角等于. 11、解：以点为原点建立坐标系，得下列坐标：，，，，，，，.由，解得. 所以，. 12、解：不妨设这条线段长为2，则点到二面角的棱的距离，点到二面角的棱的距离，，. ， . 习题3.2 B组（P113） 1、解：， ， ，，. 2、解：（1）以点为原点建立坐标系，得下列坐标：，，，，，. ，. （2），当时，的长最小. （3）当时，的中点为， 所求二面角的余弦值. 3、证明：