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抛物线问题小结 题组1、标准方程 1.抛物线x=10y2的焦点到准线的距离是 【】 2.抛物线y2=ax的焦点坐标为 ；准线方程为 . 【】【】 3.求适合下列条件的抛物线的标准方程 （1）焦点是（0，5）；【】 （2）准线是x=4；【】 （3）过点（5，-4）【】 题组2、焦半径 1.抛物线y2=2px（p0）的焦点为F,M(x,y)为抛物线上的一点,则. 2.抛物线y2=2px（p0）上一点M到焦点的距离为a (),则点M的坐标为 . 【】 3．抛物线y2=12x上与焦点距离等于9的点的坐标为 【】 4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是 【】 5.求圆心在抛物线y2=2px (p0) 上,并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程为 . 【】 6.以抛物线y2=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为 【相切】 题组3、焦点弦 1.过抛物线y2=2px（p0）的焦点的一条直线和此抛物线相交于， （1）; （2）求证：； （3）A,B在准线上的射影为，则； （4）以AB为直径的圆与准线相切; （5）. （6）若AB倾角为，则； （7）若AB倾角为，. 2．已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线于A,B，|AB|=16,则l的方程为______. 【】 3．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是 【】 4.已知圆与抛物线的准线相切，求a的值. 【】 5．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有几条？【过焦点的垂直于x轴的直线与抛物线相交所得弦的横坐标之和为2，所以它们的横坐标之和为5的直线有两条】 6．过抛物线y2=2px（p0）焦点的一条直线和此抛物线相交于A、B，M为准线上的一点，，则BM平行于抛物线轴的充要条件是AM过抛物线的顶点. 解：设，AB的方程为 由消去x得 ∴（1） 当AB的斜率不存在时，易验证成立 先证充分性：设AM过原点，AM的方程为 由得由（1）得∴BM∥x轴 再证必要性∵BM∥x轴，则 ∴A、O、M三点共线，即AM过抛物线的顶点。 7.设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知， ， 求△OPQ的面积. 【】 8．如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦 点F，且与抛物线交于A、B两点。 （1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （2）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 1）解：设抛物线的标准方程为，则，从而 因此焦点的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为。 从而所求准线l的方程为。 （2）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xxxz，则 |FA|＝|AC|＝解得， 类似地有，解得。 记直线m与AB的交点为E，则 所以。 故。 解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。 将此式代入,得，故。 记直线m与AB的交点为，则， ， 故直线m的方程为. 令y=0,得P的横坐标故 。 从而为定值。 题组4、中点弦问题 1．过点Q（4，1）作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，求AB所在直线的方程. 2.已知抛物线y2=2x的弦过定点(-2，0)，求弦AB中点的轨迹方程. 题组5、动点的轨迹 1．一圆过定点F(,0), 且和直线相切,求圆心的轨迹方程. 【】 2.设动圆与已知圆C: 外切,且与y轴相切,求动圆圆心的轨迹. 【和】 3．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD， 按如图所示的方法折叠，使每次折叠后点B 都在AD边上，此时将B记为B′，过B′作 B′T∥CD交EF于点T，求点T的轨迹方程. 【】 题组6、最值问题 1.抛物线y2=2px的焦点为F,M为其上的动点, A(m,n)为抛物线内的定点,求的最小值; 【】 2．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，则的最小值是 【32】 3．抛物线上的点到直线距离的最小值是【】 4.长度为l（l≥2p）的弦AB的两个端点在抛物线y2=2px上移动,线段AB的中点为M,求点M到抛物线的准线的距离的最小值. 解：设，AB的中点M，，，，当时，即弦过焦点F时，点M到准线的距离的最小值为。 题组7、垂直弦问题 1.A、B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，且OA⊥OB， 求