(高等数学大纲.docVIP

课程编号：12101 课程名称：高等数学 课程英文名称：Higher Mathematics 总学时：170 学 分： 授课对象：理工科一年级全年 先修课程：无 课程目标与教学任务 本课程是高等学校工科各专业学生必修课程之一。通过这门课程的学习,要使学生系统地获得微积分（包括向量代数和空间解析几何）与常微分方程的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、力学、物理等实际问题的初等训练, 为学习后继课程和进一步扩大知识奠定必要的数学基础。 在以下的要求中, 从高到底, 对概念、理论用“理解”、“了解”、“知道”三级区分, 对运算方法用“熟练掌握”、“掌握”、“会或能”三级区分,“熟悉”相当于“理解”和“熟练掌握”。 课程内容提要 (一)、函数　极限　连续 1.1 函数 　 １、理解函数、区间、邻域等概念。 　 ２、了解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性以及这些特性各自反映在图形上的特点。 　３、了解反函数的概念及其图形，熟练掌握基本初等函数的性质及图形。 　４、理解复合函数、初等函数的概念，并了解分段函数、双曲函数。 　 ５、能列出简单实际问题中的函数关系。 重点：函数，复合函数。 难点：分段函数的复合函数，列函数关系式。 1.2 极限 　１、了解数列极限的ε－N定义，函数极限的ε－δ（ε－X）定义。对于给出ε求N 或δ或X 不作过高要求，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。　 　　 ２、知道收敛数列的有界性，极限的唯一性，了解函数极限的保号性。 　３、了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系。 ４、熟练掌握极限的四则运算法则。 　 ５、了解两个极限存在法则（夹逼法则和单调有界法则），熟练掌握用两个重要极限求极限。 　６、理解无穷小与无穷大的概念，了解无穷小与无穷大的关系，无穷小与函数极限的关系，掌握无穷小的比较。 重点：极限概念及其计算。 难点：极限的精确定义，利用定义求极限，利用重要极限求极限。 1.3 连续 　１、理解函数在一点的连续的概念。 　 ２、了解函数在一点处的左、右连续概念以及函数在一个区间上连续的概念。 　３、会判断间断点的类型。 　 ４、了解连续函数的和、差、积、商的连续性，知道反函数与复合函数的连续性。知道连续函数的保号性，了解初等函数的连续性。 　５、掌握用连续性计算初等函数的极限。 ６、了解在闭区间上连续函数的性质──最大、最小值定理和介值定理。 重点：连续函数的概念，间断点的分类，用连续性求极限。 难点：判断分段函数在分断点的连续性，间断点的分类。 一元函数微分学 2.1 导数与微分的概念 １、理解导数的概念（包括左、右导数，高阶导数）及函数可导性与连续性的关系。 　２、理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线方程和法线方程的方法，能用导数描述一些物理量。 　３、理解微分的概念，了解微分的几何意义及函数的可微性与可导性的关系。 2.2 微分法 　１、会用定义求导数（包括分段函数的导数）。 　 ２、熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）以及导数的基本公式。能熟练地求初等函数的一阶、二阶导数，会求简单函数的n阶导数。 　３、掌握隐函数与参数式所确定函数的一阶、二阶导数的求法（包括取对数求导的方法），知道反函数的求导法，掌握抽象形式函数的一阶、二阶导数的求法。 *4、会用微分进行近似计算。 重点：导数与微分的概念，初等函数的求导公式和求导法则。 难点：隐函数、参数方程所表示的函数的二阶导数计算，复合函数求导法（包括抽象形式的函数）。 2.3 中值定理及导数的应用 　１、熟悉罗尔定理和拉格朗日定理，了解柯西定理和泰勒定理，并会用罗尔定理和拉格朗日定理。 　２、熟练掌握罗必达法则。 　 ３、熟练掌握函数增减性判别法，会不等式的一些证明方法。 　４、熟练掌握函数极值的的概念和必要条件。熟练掌握极值存在的第一，第二充分条件和求法。 　５、掌握求函数的最大值和最小值方法并会熟练解较简单的最大值和最小值的应用问题。 　６、掌握函数图形的凹凸性及其判别法，拐点极其求法。 　 ７、能利用导数描绘函数图形（包括水平和铅直渐近线）。 　 ８、知道曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。 　 *９、知道求方程近似解的二分法和切线法。 重点：拉格朗日定理，罗必达法则，极值概念。 难点：与中值定理有关的证明题。 (三)　一元函数积分学 3.1 不定积分 　 １、理解原函数与不定积