(2015春平行四边形与特殊平行四边形的综合应用.docVIP

平行四边形与特殊平行四边形的综合应用 一 平行四边形的性质与判定 1 2（2013山东莱芜，21，9分）在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE. （1）证明DE∥CB； （2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形. 1）证明：连结CE. ∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点， ∴CE=AB=AE. ∵△ACD是等边三角形，∴AD=CD. 在△ADE与△CDE中， AD=CD,DE=DE,AE=CE, ∴△ADE≌△CDE. ∴∠ADE=∠CDE=30°. ∵∠DCB=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°. ∴DE∥CB. (2)∵∠DCB=150°,若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°. ∴∠B=30°. 在Rt△ACB中，30°所对的直角边等于斜边的一半，AC=或AB=2AC. ∴当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形. 二 矩形的性质与判定 3(2014山东济南，23，7分) (1) 如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点. 求证：EB=EC. 证明：在和中， , 于是有 ，所以． 4 （2014呼和浩特） 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O, 连接DE． （1）求证：?ADE≌?CED; （2）求证： DE∥AC． ．证明：（1）∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AD=BC AB=CD 又∵ AC是折痕 ∴ BC = CE = AD AB = AE = CD 又DE = ED ∴ ΔADE ≌ΔCED （2）∵ ΔADE ≌ΔCED ∴ ∠EDC =∠DEA 又ΔACE与ΔACB关于AC所在直线对称 ∴ ∠OAC =∠CAB 而∠OCA =∠CAB ∴ ∠OAC =∠OCA ∴ 2∠OAC = 2∠DEA ∴ ∠OAC =∠DEA ∴ DE∥AC 5（2013?南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 求证：四边形BCDE是矩形． 证明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC， ∴∠BAE=∠CAD， ∵在△BAE和△CAD中 ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠BEA=∠CDA，BE=CD， ∵DE=BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠BEA=∠CDA， ∴∠BED=∠CDE， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD， ∴∠CDE+∠BED=180°， ∴∠BED=∠CDE=90°， ∴四边形BCDE是矩形 三 菱形的性质和判定 6（2013贵州贵阳，20，10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC． (1)求证：AE=EC；(5分) (2)当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由． (1) 证明：连接AC ∵ BD是菱形ABCD的对角线 ∴BD垂直平分AC ∴AE=EC (2)点F是线段BC的中点. 理由：∵ABCD是菱形 ∴AB=CB 又∵∠ABC=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴∠BAC=60° ∵AE=EC ∴∠EAC =∠ACE ∵∠CEF=60° ∴∠EAC =30° ∴AF是△ABC的角平分线 ∴BF=CF ∴点F是线段BC的中点. 7（2014厦门） 在四边形ABCD中，AD//BC，AM⊥BC，垂足为M， AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证四边 形ABCD是菱形。 8（2014乌鲁木齐市）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形． 四 正方形的性质与判定 9（2014?鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可． 解答： 证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中， BC=CD，