(2016版步步高考前三个月复习数学理科鲁、京、津专用专题9第41练.docVIP

第41练　几何证明选讲 [题型分析·高考展望]　本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力. 常考题型精析 题型一　相似三角形及射影定理 1.相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 例1　如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC的值为________. 点评　含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息.另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷. 变式训练1　(2015·广东)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________. 题型二　相交弦定理、切割线定理的应用 1.圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 2.圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 4.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 5.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 例2　如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，则tan∠ACD和sin P的值分别为________. 点评　(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值. (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系. 变式训练2　(2015·天津)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为(　　) A. B.3 C. D. 题型三　四点共圆的判定 1.圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3.圆内接四边形的性质定理 (1)圆的内接四边形的对角互补； (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 4.圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 例3　(2015·湖南改编)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，则∠MEN＋∠NOM＝180°. 　 　 　 　 变式训练3　如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若△ABC的面积S＝AD·AE，则∠BAC的度数为________. 高考题型精练 1.如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________. 2.如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________. 3.如图，在?ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9 cm2，则S△AOB＝________cm2. 4.(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________. 5.(2014·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点.若QC＝1，CD