概率论及统计学的重要公式和解题思路..docxVIP

一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ;如A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P()=1-P(A) ; B发生的前提下A发生的概率==条件概率 ：P(A|B)= ; 或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ; 2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=xk 的概率为：P{X=xk}=Pk, k=1,2,3...; --- 既 X的分布律；XX1X2....xnPkP1P2...pnX的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。分布函数：F(x)=P(X), - ; 是概率的累积！P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1) ; 离散型rv X; F(x)= P{X ;(把Xx的概率累加）连续型rvX；F(x)=, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(; F(;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}= ，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}= ,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)= 分布函数F(x)==④连续型：指数分布，参数为，f(x)= F(x)= ;⑤连续型：正态分布：X～N( most importment!密度函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=μ, E(X)=μ,方差D(X)=; 当μ=0，时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。当X～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)；看到X～N(,求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1);既把X变成 ；则～N(0,1)；例题：已知 X～N(； 求P(-1X3).解：(思路：μ=1，σ=2；变换式： )P(-1X3)=P(-1-1X-13-1)=P()= P()= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表正态性质：如X～N(N(；则Z=aX+bY也是正态；Z～N(,其中μz=aμ1+bμ2 ; σz2=a2σ12+b2σ22 ；三、二维随机变量：离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..)联合分布律的表格形式:X YY1Y2Y3P(X=I)X1P11P12P13P11+P12+P13X2P21P22P23P21+P22+P23X3P31P32P33P31+P32+P33P(Y=J)P11+P21+P31P12+P22+P32P13+P23+P33边缘分布：P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加） ; P(X=2)，P(X=3)同样计算P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算；条件概率：X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}= = ;P{Y=y1|X=x1}= ; P{Y=y2|X=x1}=; P{Y=y3|X=x1}=连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）则 ：F(x,y)=P(Xx,Yy)= ; F(∞,∞)=1 .边缘密度： 如XY独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成立；X,Y二维正态密度中的参数则X,Y独立；题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；思路：注意x的定义域，利用F(∞)=求出参数；2、求P(XY)或P(X+Y1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上下限，并求积分；3、求Z=X+Y的分布：密度公式 四、数学期望、方差数学期望 E(X), 方差D(X) :离散：E(X)= ; E(g(X))= ;连续：E(X)= E(g(X))= 性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如X,Y独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；D(X)=E(X; D(C)=0， D(CX)=C2X 如X,Y独立，D(X五、样本及抽样分布中心极限定理：E(X)=μ,D(X)=σ2的独立同分布的X1,X2,X3...Xn，当n充分大时，有：～N(0,1); 是Xi的和；样本及抽样分布：从总体X中抽取一个个体，独立抽n次，记为X1,X2