概率论自学报告..docVIP

上海大学2013～2015学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称：《概率论与随机过程》 课程编号报告题目：大数定理与中心极限定理的实际应用 学生姓名：陈璐 学 号 任课教师：任艳丽 成 绩： 评阅日期： 大数定理与中心极限定理的实际应用 摘 要： 概率论是研究随机现象统计规律性的学科。而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性，而。 由定义式可见，C(u)和f(x)是一对傅立叶变换对，同理C*(u)和f*(x)也是一对傅立叶变换对。 （2）特征函数的性质： ①两两独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 ②随机变量的N阶原点矩可由特征函数的N次倒数求得。 ③将特征函数在原点用台劳级数展开，该级数说明随机变量的密度函数可由它的各阶矩唯一地确定。 1.8 大数定理与中心极限定理 （1）大数定理：随着试验次数的增多，逐渐趋于概率，这就是大数定律。； 其中X1~Xn是，且具有相同的Xk)=u，Xk)= 。 （2）中心极限定理： ，两个随机变量，它们的分布函数n(x)满足，。其中n是，且具有相同的Xk)=u，Xk)= 。由式子可以看出当n很大的时候，n)和Z(n)近似服从正态分布0，1)。由以上又可以推出（，b]，其中参数为，p二项分布。 （1）定义：将连续随机过程X（t）以ts为间隔进行等间隔抽样（记录），即可获得随机序列。 对于固定的j，Xj为一个随机变量，一个随机序列可以看成是向量即均值向量：自相关矩阵协方差 自相关阵与协方差阵之间的关系：Cx=Rx-MxMx^T （3）自相关阵的性质： ①对称性； ②半正定性，即对任意的N维随机向量F，该式成立：F^T Rx F=0。 3.3平稳随机序列的自相关阵与协方阵 （1）定义：平稳随机序列的自相关阵与协方阵是Toeplitz矩阵，所谓就是每一对角线上的元素矩阵，其满足对称性。一行或一列就可以唯一确定 （3）自相关阵的正定形式：当自相关矩阵的过大时，我们求解问题就会变得复杂，这可以将矩阵进行特征分解，将它表示成正则形式的对角化方法。其：?λQ^（-1） 5.5 随机序列通过离散线性系统 (1)对于一个离散系统而言，输出n)=x(n)*h(n)，其中x(n)输入，h(n)系统传输函数。 由z变换可得其传递函数为：这就是平均模型）。 ai=0时，滑动平均模型（）， 当b0=1且bl=0时，有自回归模型）： 滑动平均模型（）自回归模型）平均模型）两个特例。 ： 输入是随机序列n)，则三种系统模型的输出为 ARMA模型: ， MA模型: ， 其自相关函数 当输入n)为白序列，。 AR模型: ， 其自相关函数，该方程组Walker方程。 (3)频域分析：离散傅里叶变换可得 MA: ，功率谱密度 AR模型: 对于随机序列通过离散线性系统的分析求其z)，再转换成w)。根据功率谱密度的公式可以求出y(w)，知道了功率谱密度函数也就可以求出自相关函数。实际 中心极限定理表明样本足够大时，样本服从正态分布。例如对一千居民收入随机调查，发现无论低收入还是高收入都是少数，而中等收入占多数，即为正态分布。在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布。因此，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在应用上是十分有效、重要的。 大数定律指用于单一特征值，中心极限定理则表明变量在分布上的特征。无论大数定律还是中心极限定理都表明了在偶然性中可以发现必然性。 2.2在实际中的应用 1．利用中心极限定理求概率问题：在社会生活中的应用。 由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种各样的措施进行预防.?在这之前，对新生婴幼儿的性别进行判断和统计是很有必要，而中心极限定理在这方面就能体现出它独特的作用。 例题：?设男孩的出生率为0．515，求在10000个新生的婴儿中女孩数目不少于男孩数目的概率是多少?? ?设X为10000个新生婴儿中男孩的数目，则XB～(100000.515)，，要求女孩数目不少于男孩数目的概率，即求P{X=5000}.?? 由棣莫佛?拉普拉斯定理可得 即在10000个新生婴儿中,女孩数目不少于男孩数目的概率大约为0.00135. 2．中心极限定理在商业营销中的应用? 商业营销也是一个需要用到概率统计知识的领域.?对大量的数据进行统计分析,判断市场形势,进而做出最优的决策.?这就是中心极限定理在商业营销中的重要作用