高考数学检测《导数在研究函数中的应用》.docVIP

导数在研究函数中的应用 【选题明细表】 知识点、方法 题号 函数的单调性与导数 1、7、10 函数的极值与导数 2、3、5 函数的最值与导数 6、9 综合应用 4、8、11 一、选择题 1.(2013厦门市高三上学期期末质检)函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(　D　) (A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,-3)和(1,+∞) (D)(-3,1) 解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3), 由y0?x2+2x-30?-3x1, ∴函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1). 故选D. 2.(2013西安五校联考)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)·ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是(　D　) 解析:若x=-1为函数f(x)·ex的一个极值点,则易得a=c.因为选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2,则[f(x)ex]=f(x)ex+f(x)(ex)=a(x+1)(x+3)ex,所以x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,满足条件;选项C中,对称轴x=-0,且开口向下,所以a0,b0,所以f(-1)=2a-b0,也满足条件;选项D中,对称轴x=--1,且开口向上,所以a0,b2a,所以f(-1)=2a-b0,这与图象矛盾,故选D. 3.(2013年高考大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于(　A　) (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 解析:∵y=3(x+1)(x-1), ∴当x=-1或x=1时取得极值, 由题意得f(1)=0或f(-1)=0, 即c-2=0或c+2=0, 解得c=2或c=-2.故选A. 4.(2013福建龙岩质检)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f(x)的图象不可能是(　D　) 解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f(x)的图象不可能是D. 5.(2013年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是(　C　) 解析:∵f(x)在x=-2处取得极小值, ∴当x-2时,f(x)单调递减,即f(x)0; 当x-2时,f(x)单调递增,即f(x)0. ∴当x-2时,y=x·f(x)0; 当x=-2时,y=x·f(x)=0; 当-2x0时,y=x·f(x)0; 当x=0时,y=x·f(x)=0; 当x0时,y=x·f(x)0, 结合图象知选C. 6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f(n)的最小值是(　A　) (A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15 解析:求导得f(x)=-3x2+2ax, 由函数f(x)在x=2处取得极值知f(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4, f(x)=-3x2+6x, 易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 又f(x)=-3x2+6x的图象开口向下, 且对称轴为x=1, ∴当n∈[-1,1]时,f(n)min=f(-1)=-9. 故f(m)+f(n)的最小值为-13.故选A. 二、填空题 7.(2013南充市第一次适应性考试)设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6.若x0是方程f(x)-f(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),则a=　　　　.? 解析:根据已知f(x)在(0,+∞)上是单调函数,又对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6,得f(x)-log2x必为常数,记为C,即f(x)-log2x=C. 令x=C,f(C)-log2C=C,而f(C)=6,易知C=4, 所以f(x)=4+log2x,f(x)=. 又因为f(1)=4,f(1)=0,f(2)=5, f(2)=1,所以f(1)-f(1)4,f(2)-f(2)4, 根据零点存在性定理知,方程f(x)-f(x)=4在(1,2)内必有一个解.又由于f(x)-f(x)是一个增函数, 故方程f(x)-f(x)=4在(1,2)内只有一个解.因此a=1. 答案:1 8.(2013广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(a∈R),若对