(二次函数根与系数的关系.docVIP

1、如图，已知抛物线y=-x2+3x+6交y轴于A点，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于M、N两点，且M、N关于C点成中心对称，求n的值。 解：∵点A、C在抛物线y=-x2+3x+6上 ∴令x=0则y=6,令x=4则y=2 ∴A(0,6) C(4,2) ∴AC:y=-x+6 令抛物线y=-x2+3x+6的顶点为G 则G(1.5,8.25) 抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G’坐 标为(1.5+n,8.25) 设新抛物线解析式为y=-[x-(1.5+n)]2+8.25 联立： ∴x2-(4+2n)x+n2+3n=0 ∴=4+2n ∵点M、N关于C点中心对称 ∴==2 ∴n=2 ----------------------------分隔线----------------------------------- ----------------------------分隔线----------------------------------- 2、如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原点对称，点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M、N的坐标。 解：∵点A、B、C在抛物线y=-x2+2x+3上 ∴令x=0则y=3 令y=0则=-1,=3 ∴C(0,3) Ａ(-1,0) B(3,0) ∵点D、C关于原点对称 ∴D(０,３) ∵四边形CMDA是平行四边形 ∴ CN∥且=MD 设N(m,n) ∵MN关于原点对称 ∴ M(-m,-n) ∵M、N在抛物线y=-x2+2x+3上 ∴ ∴= =-(舍) ∴n=2 ∴N(，2) M(-，-2) ----------------------------分隔线----------------------------------- ----------------------------分隔线----------------------------------- 3、如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N与X轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。 解：∵D(0,-) ∴设直线MN的解析式为y=kx- ∴ ∴kx-= x2-4x+3 ∴x2-(4+k)x+=0 +=-=4+k ∵+=0=k(4+k) ∴k=1或-5(舍) ∴直线MN的解析式为y=x- ----------------------------分隔线----------------------------------- ----------------------------分隔线----------------------------------- 4、如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由; （3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。 ----------------------------分隔线----------------------------------- 解：⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为 根据题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为 ⑵由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。 ①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得，即y＝4－x。 又P点(x,y)在抛物线上，∴，即 解得，，应舍去。∴。 ∴，即点P坐标为。 ②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称， 此时点P坐标为（2，3）。 ∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。 ⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾 股定理,得CB＝,CD＝,BD＝ ∴ ∴∠BCD＝90° 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中， ∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45°, 由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC, ∴四边形BCDM为直角梯形 由∠BCD＝90°及题意可知， 以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 不存在以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形 ∴综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。 -----------------------