第3章 离散方程的误差与物理特性的分析幻灯片.pptVIP

2009年3月10日 §3.1 离散方程的相容性、收敛性及稳定性 一、截断误差及相容性 1、截断误差：差分算子与相应的微分算子之差。 2、离散方程的相容性 当空间、时间步长趋于零时，如果离散方程的截断误差趋于零，则称离散方程与微分方程相容。 截差 ，方程具有相容性。 如截差中出现 Dt/Dx时，相容性仅条件满足。 二、离散误差及收敛性 1、离散误差 离散方程的精确解偏离该点上相应微分方程精确解的值。 2、影响因素 (1)截断误差 一般地说，截断误差的阶数越高，离散误差越小。 (2)网格疏密 对同一离散格式，网格加密离散误差也会减小。 但：网格太密也会引起很大的舍入误差。 网格独立的解是国际杂志接受数值计算论文的基本要求。 3、离散方程的收敛性 三、舍入误差与初值问题的稳定性 1、舍入误差 由于计算机存储数据的方式而引入的误差，取决于所采用的计算方法及所用计算机的字长。 2、数值解误差的组成 总误差=离散误差+舍入误差 3、初值问题离散格式的稳定性 如果在任一时层计算中所引入的误差都不会在以后各时层的计算中被不断地放大，则称离散格式是稳定的。 稳定与不稳定是一个离散格式的固有属性！ 4、联系收敛性与稳定性的Lax原理 对于适定的线性初值问题所建立起的相容格式，稳定性是收敛性的充分必要条件。 工程传热问题中，仅常物性无源项的非稳态导热问题，才能应用Lax原理分析。 对于其他问题，相容性与稳定性仅是获得收敛解的必要条件。 格式、网格疏密、稳定性的影响 5、说明 对于工程对流换热问题的数值计算，一般认为：扩散项采用二阶精度截差，对流项采用二阶到三阶的离散格式是比较合适的。 数学特性：相容性、收敛性、稳定性 物理特性：守恒性、迁移性、人工粘性(假扩散) 在数学上满足稳定性条件的解，不能保证一定得出具有物理意义的结果。 §3.2 离散方程的守恒性 一、离散方程守恒性定义 如果离散方程在定义域内的任一有限空间内作求和的运算，所得表达式满足该区域上物理量守恒的关系，则称该离散格式具有守恒特性。 二、对流项中心差分的守恒特性 扩散项中心差分具有良好的物理特性和计算精度，是对流项离散格式导致了各种不良特性。 将一维对流扩散方程简化成纯对流方程(平流方程) 二、对流项中心差分的守恒特性（续） 离散化： 在[l1,l2]内作积分 或： 二、对流项中心差分的守恒特性（续） 互相抵消 二、对流项中心差分的守恒特性（续） 满足守恒特性！ 三、保证离散方程具有守恒性的条件 1、导出离散方程的控制方程是守恒型的 非守恒型 守恒型 三、保证离散方程具有守恒性的条件（续） 不能抵消，表明非守恒型方程不具有守恒特性。 三、保证离散方程具有守恒性的条件（续） 2、在同一界面上各物理量（f及有关物性）及f的一阶导数是连续的。 连续：从界面两侧的两个控制容积来写出的该界面上的值是相等的（局部守恒性）。表示为： 表示对P点写出的e界面上的f值。 三、保证离散方程具有守恒性的条件（续） 界面连续性示意图 三、保证离散方程具有守恒性的条件（续） 中心差分满足连续性条件，具有守恒特性。 §3.3 离散方程的迁移性 一、对流与扩散现象在物理本质上的区别 扩散项应使扰动向四周传递。 对流项应使扰动沿流动方向传递。 二、扩散项中心差分可以将扰动均匀地向四周传递 一维非稳态扩散方程 采用显式格式离散 采用离散扰动分析法：设n时层i节点上出现一个扰动e，其余各点均没有。 对i点： 整理得： ，按稳定性要求 扩散项中心差分的迁移性 对i+1点： 整理得： 对i-1点： 整理得： 扩散项中心差分的迁移性 时扩散作用下扰动的传递 扩散项中心差分既具有守恒特性，又能使扰动均匀地向四周传递，符合物理问题的本质，是一个理想的离散格式。 三、对流项中心差分不具有迁移特性 i+1点： i-1点： 对流项中心差分不具有迁移特性 四、对流项迎风差分具有迁移特性 u0时： i+1点： i-1点： u0时： ，扰动与e同符号 五、讨论 1、不具有迁移特性的对流项离散格式一定是条件稳定的，迎风格式保证不振荡。 2、对流项中心差分虽然截差等级高，但迎风差分更符合