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-----线性代数---- 第六章　二次型　　在平面解析几何中，为研究二次曲线的类型及性质，常通过坐标变换将二次曲线的方程标准化。在科学技术和经济管理的许多问题中，也会遇到类似的更为一般的问题：需要把n元二次齐次多项式（即二次型）化为仅含完全平方项的形式（即标准形）。因此，二次型的有关理论是研究生数学考试考核的重点之一。　　　　一、考研知识结构网络图　 　　　　二、相应知识点精讲　　定义6.1 二次型及其矩阵　　n个变量的二次齐次函数　　 　　称为一个n元二次型。当系数为实数时，称为实二次型。简称二次型。　　如果记则二次型的矩阵形式为，其中为n所实对称矩阵。　　A称为二次型的矩阵，A的秩r（A）称为二次型的秩。　　二元齐次函数：二次型　　　　可逆变换　 　　　　　　定义6.2　二次型的标准形和规范形　　（1）二次型的标准形：若二次型中只含有变量的平方项，即　　，　　其中为实数，则该二次型称为标准形。　　（2）二次型的规范形：若标准形中系数为-1或0或1，即　　 　　时，称该二次型为规范形。　　例：二次型 ，　　其标准形和规范形为 .　　一、求可逆变换x=Py使二次型化成标准形。　　二、求正交变换x=Qy使二次型化成标准形。　　三、求可逆变换x=Py化二次型为规范形。　　二次型f（x）=xTAx　　　　①AT=A　　②二次型的秩=秩A　　标准形：　　规范形：标准形中的系数di=0或±1　　x=Py P可逆矩阵　　P正交矩阵　　　　令：x=Py , P可逆　　设：　　 　　设：B=PTAP，称A与B合同　　定义6.3 矩阵合同　　设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得B=PTAP，则称A与B合同。记作。　　性质6.1　　1.经可逆线性变换，原二次型的矩阵与新二次型的矩阵合同。　　2.任意一个实二次型经可逆线性变换可以化为标准形。　　此结论也可叙述为：任一实对称矩阵都与一个对角阵合同。　　3.任意一个实二次型都可经正交变换化为标准形。　　定理6.1 惯性定理 任一实二次型都可以经可逆线性变换化为规范形，且规范形是唯一的。　　在二次型的规范形中，正项项数p，负项项数r-p是唯一确定的，p称为正惯性指数，r-p称为负惯性指数，r为二次型的秩，称为符号差。　　惯性定理也可叙述为：任一实对称矩阵A均与对角矩阵合同，其中主对角线元素中１的个数为正惯性指数ｐ，-1的个数为负惯性指数r-p。　　　　正惯性指数：p　　f=xTAx，求A特征值　　正的特征值个数=p，　　负的特征值个数=r-p。　　正交变换化二次型为标准形的程序　　①求出二次型的矩阵A，化二次型为矩阵形式，即。　　②令或，求出A的特征值。　　　③令，求出其基础解系，即所对应的线性无关的特征向量。　　④用施密特正交化方法，将正交化，再单位化，求出正交单位向量组。　　⑤令，则P为正交矩阵。令x=Py，则x=Py为正交变换。　　⑥将x=Py代入原二次型，得　　　　可逆变换化二次型为规范形的程序　　①求正交变换x=Py，化二次型为标准形，其中　　②令，　得可逆矩阵　　　　③令可逆变换，使二次型化为规范形：　　.　　【评注】可逆变换不一定是正交变换. 　　三、典型例题剖析　　化二次型为标准形与规范形　　【例题1·计算题】已知二次型，则　　（1）求该二次型的矩阵Ａ和秩. 　　【答疑编号986206101】 　　　　　　　　若a=0，则秩A=2　　若a≠0，则秩A=3　　（2）当该二次型ｆ的秩为2时，求正交变换x=Qy，把二次型ｆ化成标准形。 　　【答疑编号986206102】 　　当秩A=2时，a=0　　　　①求特征值　　　　∴A特征值　　②求（4E-A）x=0的基础解系　　　　求（0E-A）x=0的基础解系，即Ax=0的基础解系　　　　　　　　　　　　令为正交阵　　令正交变换x=Qy，　　则　　其中　　【例题2·计算题】设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12。　　（1）求a,b的值。 　　【答疑编号986206201】 　　　　　 　　（2）利用正交变换将二次型ｆ化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。 　　【答疑编号986206202】 　　　　∴A特征值是， 　　求基础解系　　　　基础解系：　　求基础解系　　　　两两正交　　　　令正交矩阵，　　x=Qy做正交变换　　代入 　　　　【例题3·计算题】设二次型经正交变换X＝PY化成，其中都是三维列向量，P是三阶正交矩阵。试求常数。 　　【答疑编号986206203】