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《高等数学复习》教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.（等价小量与洛必达） 2.已知 解： （洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， 解：令 （变量替换） 5. 解：令 （变量替换） 6.设连续，，求 （洛必达与微积分性质） 7.已知在x=0连续，求a 解：令 （连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1. （洛必达） 2. （洛必达或Taylor） 3. （洛必达与微积分性质） 第一讲复习： 考研四个阶段： 课本知识，知识结构，全面，高等数学，线性代数，概率论，微分方程，复变函数； 提高阶段，加深，计划，全面，背诵，积累，熟练； 做真题上辅导班阶段； 温习阶段，回到课本，回到基本题目，中档题目上来。 2． 重中之重：求极限 3． 典型例题 1．已知a、b为正常数， 解：令 2．设连续，，求 3．求 解： 方法二：利用对数的运算法则，罗毕塔法则也可以计算得出。 练习：求（a1a2…an） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。 解： 5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x-0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 8.求函数的单调性与极值、渐进线。 解：， D.幂级数展开问题 9. 或： 10.求 解： = E.不等式的证明 11.设， 证：1）令 2）令 F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且， ，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中 将x=1，x=-1代入有 两式相减： 13.，求证： 证： 令 令 （关键：构造函数） 时，（1） 对于任意的实数x, ; 对于任意的实数x, ; 对于任意的实数x, . 具有一阶导数的函数满足。 当时，都是无穷小，且，则 ， 设当时，都是无穷小，则 若函数f在闭区间上连续，则 当时，。 可导的偶函数的导数为奇函数，可导的奇函数的导函数为偶函数，可导的周期函数的导函数为周期函数。 存在，则。 若函数f在点连续，，则。 设函数f在点具有n阶连续导数，且， 则当n为奇数时，不是极值；当n为偶数时，是极值（时，极大值，否则为极小值）。 在的某领域内，函数f具有n阶连续可导，且，则k为偶数时，不是拐点；k为奇数时，是拐点。 三、补充习题（作业） 1.xc 2.曲线 3. 4.证明x0时 证：令 第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值 二、题型与解法 A.积分计算 1. 2. 3.设，求 解： 4. B.积分性质 5.连续，,且，求并讨论在的连续性。 解：