人教版初中数学讲义第5章二次函数09 二次函数与极值解析.docVIP

二次函数与极值 知识溯源 相传古代Tyre的Phoeiniciau城的公主Dido，离开了自己的家园，来到北非的地中海沿岸．她和当地的部落商议：付给一笔固定的金额，以换取一张公牛皮能围住的土地，准备定居在那里．一块公牛皮能围住多大的土地呢？于是，当地部落首领答应了．聪明的Dido想出了一个巧妙的办法，她把公牛皮切成很细很细的条，再把这些细条结成一条长长的细牛皮条，就用这根牛皮条在海岸边围出了意想不到的大块土地．相传这片土地是一个半圆形，其直径在海岸线上（近似可看作直线），不需用牛皮来围；牛皮条的总长就是这个半圆的弧长．数学中，可以证明：在这种情况下，依照Dido的办法围得的土地，可算是面积最大的了． 上述希腊神话，说的是求一个使面积达到最大的图形．另外，诸如给出一定材料，造一个容器，使之容积最大；完成一项工程，使全部花费最小，等等，可以想象，此类问题在生活以及生产上是很多的，且是有意义的．这些问题经过数学抽象，就归结为一定条件下求一个量的极大或极小问题，这就是数学中的所谓极值问题，它在整个数学中占了相当重要的一席位子． 极值问题的研究，有着悠久的历史．早在古希腊时，就研究了等周问题．在欧几里得的名著《几何原本》中，实际上已证明了如下的极值问题，具有相同周长的矩形中，以正方形的面积最大． 就几乎在出现函数概念的同时，函数极值的问题就被提出来了．作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值在数学和其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用．不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现力和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用．许多实际问题最终都归结为函数极值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式．而在求解具体问题时往往需要应用到极值来解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值，是学习数学与其它学科的基础，是生活生产的必备工具． 运用微分的方法寻求一个函数的最大值和最小值，这是德国人开普勒开创的，1615年开普勒在测量酒桶体积的问题时，证明了内接于球面的具有正方形底面的平行六面体中，以立方体的容积最大．1638年，法国人费马用微分得方法证明了在周长一定的矩形中，以正方形的面积最大． 初中阶段确定二次函数最值的方法： 方法：将二次函数 配方化为的形式，顶点坐标（h，k）．对称轴为直线x＝h．若a＞0y有最小值当xh时y最小值k．若a＜0y有最大值当xh时y最大值k． 方法：直接利用公式求其顶点），对称轴是直线x，若a＞0y有最小值当x 时y最小值 ．若a＜0y有最大值当x 时y最大值 ． 一个函数对应一条抛物线，它的最值分为以下几种情况： 第一种，x没有限制，可以取到整个．这时抛物线的顶点值是这个函数的最值，也就是说，当x取为抛物线的对称轴值时，即x时，所得的y值是这个函数的最值．当a时，抛物线开口向上，所得到的最值是抛物线最低点，也就是最小值，此时此函数无最大值．当a时，抛物线开口向下，所得到的最值是抛物线最点，也就是最值，此时此函数无最值 第二种，x有范围限制，它只能取到抛物线的一部分，这时需要判断x能够取到的范围是否包括抛物线的对称轴x＝．如果包括，那它的一个最值一定在对称轴处得到（最大值还是最小值要由a的正负判断，a正就是最小值，a负就是最大值）另外一个最值出现在所给的端点，此时可以把两个端点值都入函数，分别计算y值，比较一下就可以；如果给的是代数形式，也可以用与对称轴距离的大小来判断，与对称轴距离大的那个端点能够取到最值． 如果x的取值范围不包括对称轴，它的最值一定出现在的端点处，当a0时，离对称轴最远的端点取得最大值，最近的端点取得最小值．当a0时，最远端取得最小值，最近端取得最大值． “业余数学家之王” 17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601—1665)． 这道题是这样的：当n2时，xnyn＝zn没有正整数解．在数学上这称为“费马大定理”．这命题载于丢番图《算术》1621年拉丁文译本第二卷之空白处：……一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂．为此，我确信已发现一美妙的证法，可惜这里太少空白地方，写不下．后来因找不到费马的证明，这激发起历代数学家之研究，为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过直至1995年才由英国数学家怀尔斯andrew wiles）彻底证明费马大定理，历时超过300多年． 数学家费马于1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙──德洛马涅出生．早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师．自1631年起任图卢兹议会议员．任职期间，他利用余