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二项式定理公式及性质的应用 典题探究 例1：答案： D 解析：Tr＋1＝(－1)rC·(2x2)5－r·x－r＝(－1)rC·25－r·x10－3r，令10－3r＝1?r＝3，∴T4＝－C·22x＝－40x. 展开式中有两种出现，，，所以相加答案为30 例3：答案：160 解析：所以r=3,所以系数为160 例4：答案：80 解析：所以当r=2时候 系数为80 :演练方阵 A档（巩固专练） 1：答案：D 解析： 2：答案：B 解析:常数项为-20 3：答案：B 解析:,所以a=17,b=12 4：答案：D 解析:中，而中 两式相减得 5：答案：A 解析： 6：答案：C 解析： 把整个式子可以看成所以为 7：答案：C 解析：展开式一项为而第二个式子展开为 8：答案：B 解析：所以为整数所以最小值为5 9：答案：B 解析： 10：答案：-5 解析:有三种产生常数项的方法①，常数为②，不符合题意③，，常数项为15，相加答案为-5 　，所以 2：答案：B 解析:展开式子中没有9的只有最后一项-11所以余数为2 3：答案：D 解析： 4：答案：D 解析:二项式系数之和为各项系数之和令，所以 5：答案：D 解析：令令所以 6：答案：B 解析：展开式通项为，，共有三种情况 7：答案：179 解析：两种方式产生，第一种，第二种相加为179 8．解　C＝C， ∴n＝17，Tr＋1＝Cx·2r·x－， ∴－＝1，∴r＝9， ∴T10＝C·x4·29·x－3＝C·29·x， 其一次项系数为C29. ．解　通项公式为 Tr＋1＝C(ax)r＝C·ar·x. 若含x2项，则r＝4，此时的系数为C·a4； 若含x项，则r＝2，此时的系数为C·a2. 根据题意，有Ca4＝9Ca2， 即Ca2＝9C.① 又T3＝135x，即有Ca2＝135.② 由①②两式相除，得＝. 结合组合数公式，整理可得3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝(舍去)． 将n＝6代入②中，得15a2＝135， ∴a2＝9.∵a0，∴a＝3. 10．解　(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x， ∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18， (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2项的系数为 t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n， ∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n， ∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n ＝16n2－148n＋612 ∴当n＝时，t取最小值，但n∈N*， ∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272. D 解析：二项式(3x－)n的展开式的通项是Tr＋1＝C·(3x)n－r·(－)r＝C·3n－r·(－2)r·xn－r，依题意得n－×8＝0，所以n＝12. 答案：A 由题意得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，又a＝2－，所以原式＝(2－－2)10＝32. 答案：D 解析：令x＝1可得各项系数之和为2n＝256，则n＝8，故展开式中第7项的系数为C×32×(－1)6＝252. A 解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数． 所以a8＝C22(－1)8＝180.故选A. 6 解析：(x＋1)10展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6. 3 解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有·(－)4和x·14，求和后可得3x，即展开式中x的系数为3. 7或0 解析：7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，当n＝2k时，余数为0；当n＝2k＋1时，余数为7. 解：由题意得Tr＋1＝C(x2)9－r(－1)r()r ＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝9得r＝3， 所以－C＝－，解得a＝2，所以 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2， 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094. (3)(①＋②)÷2， 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093