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二项式定理 学习指导： 1．有关二项式定理，要记住公式，弄清与其相关的概念：二项式系数、系数、项、项数、通项等，从而正确运用二项式系数的性质进行计算，解一些应用题。重点是二项式定理的应用、难点是对通项的理解。 2．二项式定理：边的多项式叫做的二项展开式，共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示。 3．二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 （2）增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的， 当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。 （3）的展开式的各个二项式系数的和等于，即 （4）的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 。 例题选讲 例1．求展开式中的常数项。 解：展开式的通项为。令得 展开式的常数项为。 注：若把上题改为“求展开式中的有理项”，由 知为6的倍数，又； 展开式中的有理项为，，。 例2．在的展开式中，所有奇数项之和等于1024，试求它的中间项。 解：展开式中所有奇数项系数之和等于所有偶数项系数之和，即，，展开式共有12项，其中第6、7项为中间项。 例3．已知的展开式中项的系数与的展开式中项的系数相等，求的值。 解：的展开式中的通项为，，即项的系数为。 的展开式中的通项为，，即项的系数为。 由，即，解之得中，舍去。 。 例4．在的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 解：因为前三项系数分别为1、、，它们成等差数列，所以。即解之得或。 当时，的展开式中不含有理项，所以不合，应舍去。 当时，的展开式的通项为 ，应是4的倍数， 必须是4的倍数，又，。 展开式中各有理项为，，。 注：求二项展开式中有关的系数、常数项、有理项等特殊项的问题，可紧紧抓住二项展开项的通项，通过对通项的分析，去找到原问题的解。 例5．求中的系数。 解法一，原式 原题即转化为求的展开式中的的系数，， 的系数为286。 解法二：项只存在于后四个项中，且都是四个展开式的第10项。系数之和为 解法三：原式中的系数与式中的的系数相同，后者 所以展开式中的的系数为 例6．求展开式中的系数。 解：因为的展开式通项为，其中时，系数为。 的展开式通项为，其中时系数为。 的展开式通项为，其中时系数为。 所以展开式中的系数为。 例7．求展开式中的系数。 解：原式 第三项起没有的项。 所以的系数为。 注：求的展开式中的系数。 原式 只有第3项有，其系数为 或者由原式 从四个因式中任取2个a，其余再从余下的两个式子中任取1个b，最后一个因式中取1个c。得的系数为。 一般地，展开式中的系数可表示为 例8．求的展开式中的系数。 解法一、原式，其通项为，又的通项 令，可得或 当时，的系数为； 当时，的系数为； 所以符合条件的的系数为。 解法二、原式，其通项为 当时，的系数为； 当时，的系数为 所以展开式中的系数为。 解法三、原式 出现有两种情况，一种是三个因式均提供，另一种是一个提供，另两个中有一个提供，一个提供，因而的系数为。 例9．求展开式中的最大项。 解：展开式中二项式系数最大的项是中间的项，但虽然的第26项的二项式系数最大，但因其，但却随的增大而增大，因此第26项不一定最大，但当时，的值显然大于1，所以只要讨论时，小于1。 ， 即展开式中的最大项为。 例10．数的未尾连续的零的个数是 个。 解法一、因为 令 同为M的未位数是0，N的未位数是6。所以的未尾连续零的个数是3个。 解法二、因为，，， ， 当时，末尾有四个以上的0，所以，m为正整数。 所以的未尾有3个连续的零。 例11．在的展开式中，求： 二项式系数最大的项； 系数绝对值最大的项； 系数最大的项 解：（1）二项式系数最大的项是 （2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，则 即 得， 所以当时，系数绝对值最大的项为 （3）因系数为正的项为奇数项，故可设第项系数最大，则 得 即系数最大。 例12．设，求： （1）； （2） 解：（1）令得 令得 （2）令得① 令得② 由①＋②得 例13．求除以100的余数 解法一： 观察各项，只有最后两项不能被100 又 故知除以100的余数为81。 解法二： 显然仅最后一项不能被100整除，以下转化为求被100除的余数。 此式中仅最后两项不能被100整除，而， 所求余数为81。 例14．证明：， 证明：当时， 当时， 又 注：证明还可以有如下的证法： 例15、当，求证： 证明：因为 其中 所以 巩固