高考数学二轮专题复习教案圆锥曲线中的最值和范围问题..docVIP

圆锥曲线中的最值和范围问题 【例5】长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型； （2）当=2时，已知直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围 答案：(1)设、、，则 ，由此及，得 ，即 （*） ①当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆． ②当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆． ③当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆． （2）设直线的方程：，据题意有，即． 由得 ． 因为直线与椭圆有公共点，所以 又把代入上式得 ：． 【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2. （1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。 解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e = ∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2， ∴ 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0 由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得： 而S△OAB ⑤ 由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB = （2）因S△OAB=, 当且仅当S△OAB取得最大值 此时 x1 + x2 =－1, 又∵ =－1 ∴x1=1,x2 =－2 将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5 【例7】设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求?的取值范围. 解：当直线垂直于x轴时，可求得; 当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形. 当时，，， 所以 ＝＝＝. 由 ， 解得 ， 所以 ， 综上 . 【例8】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点． 若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处； （3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标． 解：（1） ， ，于是， 所求“果圆”方程为，． （2）设，则 ， ， 的最小值只能在或处取到． 即当取得最小值时，在点或处． （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． ． 当，即时，的最小值在时取到， 此时的横坐标是． 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是； 若，当取得最小值时，点的横坐标是或． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  ① ② ③ ④ ⑤ 1