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单纯形法-人工变量法解读
人工变量的引入及其解法 当约束条件为“?”型,引入剩余变量和人工变量 由于所添加的剩余变量的技术系数为?1,不能作为初始可行基变量,为此引入一个人为的变量(注意,此时约束条件已为“=”型),以便取得初始基变量,故称为人工变量 由于人工变量在原问题的解中是不能存在的,应尽快被迭代出去,因此人工变量在目标函数中对应的价值系数应具有惩罚性,称为罚系数。罚系数的取值视解法而定 两种方法 大M法 二阶段法 线性规划问题解的讨论 一、无可行解 max z=2x1+4x2 x1 +x2 ?10 2x1 +x2 ? 40 x1 ,x2 ?0 例: max z=3x1+4x2 x1 +x2 ?40 2x1+x2?60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ?0 例 max z=3x1+5x2 3x1 +5x2 ?15 2x1 + x2 ?5 2x1+2x2 ?11 x1 ,x2 ?0 如果将x1换入基底,得另一解,由可行域凸性易知,有两个最优解必有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数中有取零值,或检验数中零的个数大于基变量个数时,有无穷多解。 四、无(有)界解 max z=x1+x2 -2x1+x2 ?4 x1- x2 ?2 -3x1+x2?3 x1 ,x2 ?0 若检验数有大于0,而对应系数列中元素全部小于或等于零(无换出变量)则原问题有无界解。 线性规划解除有唯一最优解的情况外,还有如下几种情况 * 其中第2、3个约束方程中无明显基变量,分别加上人工变量x6, x7, 约束方程为“=”或“=”的情形(加人工变量) 这时,初始基和初始基可行解很明显。X(0)=(0,0,0,11,0,3,1)T不满足原来的约束条件。如何使得可从X(0)开始,经迭代逐步得到x6=0,x7=0 的基可行解,从而求得问题的最优解,有两种方法: 反之,若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为基变量,便说明原问题无可行解。例的单纯形表格为: 只要原问题有可行解,随着目标函数向最大化方向的改善,人工变量一定会逐步换出基,从而得到原问题的基可行解,进而得到基最优解。 大M法 在目标函数中加上惩罚项。 max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 其中M为充分大的正数。 3-6M M-1 3M-1 0 -M 0 0 0 x4 10 3 -2 0 1 0 0 -1 -M x6 1 0 [ 1] 0 0 -1 1 -2 1 -1 x3 1 -2 0 1 0 0 0 1 1 -1+M 0 0 -M 0 -3M+1 0 x4 12 [ 3] 0 0 1 -2 -1 x2 1 0 1
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