考虑纵向摩阻时弹性地基上Timoshko梁弯曲的Fourier级数解答.docVIP

考虑纵向摩阻时弹性地基上Timoshko梁弯曲的Fourier级数解答 　　【摘 要】考虑地基纵向摩擦力的影响，建立了广义Winkler型地基梁的平衡方程。假定纵向摩擦力与梁底面的纵向位移成正比，引入广义剪力，得到梁的位移型平衡方程。将位移及荷载展开为带附加项的Fourier级数，利用平衡方程和边界条件对弹性地基梁的一般弯曲进行分析。分析表明，纵向摩擦力对梁的位移和内力均有影响，其影响程度随着纵向反力系数和梁截面高度的增大而增大；梁的最大挠度、转角、弯矩及剪力随着地基纵向反力系数的增大而减小；梁的轴向位移和轴力则随着地基纵向反力系数的增大而增大。 　　【关键词】纵向摩擦；梁；地基；Fourier级数 　　1. 引言 　　弹性地基梁是土木工程结构的基本构件，准确合理地对其进行计算具有重要的意义。传统分析方法中通常把地基抽象为Winkler模型、弹性半空间模型、双参数模型，梁则认为是Berlouli-Euler梁，假定梁与地基的接触面是光滑的，通过综合考虑梁、地基及两者之间的法向协调变形关系进行弹性地基梁的分析[1-3]。事实上，许多情况下还应该考虑剪切变形的影响[4]；另外，梁与地基之间就客观上存在着摩擦力，这是因为梁与地基之间的接触面较为粗糙，混凝土材料与土的变形模量差异较大，使得梁-地基接触面的性质非常复杂所致。这种底面摩阻效应通常不容忽略，特别是梁的截面高度较大时，否则可能会造成较大误差。 　　国内外的一些学者通过分别假定摩擦力与梁的底面位移成正比，或与接触压力成正比，或假设梁底地基纵向力为线性分布，或假定纵向摩阻力为定值，分别通过直接求解特征方程、分步计算、伽辽金法、幂级数、微分算子级数法及有限元对计及纵向摩擦力的Bernoulli-Euler梁或Timoshenko梁进行了分析[5-13]，得到了一些有益的结果。本文通过引入一个广义剪力，得到了以轴向位移、挠度和广义剪力为基本变量的梁的平衡方程，利用Fourier级数研究了考虑纵向摩擦力时Winkler型弹性地基上Tiomoshenko梁的一般弯曲。 　　2. Timoshenko梁的Fourier级数解答 　　图1 弹性地基梁 　　Fig.1 a beam on elastic foundation 　　设 、 依次为Timoshenko梁轴线处的轴向位移和截面转角，则梁截面上任一点的纵向位移和轴向应变为 　　（1） 　　让 轴通过截面形心， 、 轴为截面的形心主轴，于是 　　（2） 　　上式中， 为梁所用材料的弹性模量， 为梁的横截面面积， 为梁截面对中性轴的惯性矩。 　　对图1所示的弹性地基梁，不计轴向力产生的附加横向荷载，由所取梁段的平衡，得 　　（3） 　　式中， 为梁所受到的横向荷载， 、 、 依次为梁的轴力、剪力及弯矩， 和 地基对梁产生的纵向摩阻及横向反力。 　　参考文献[14]的处理方法，定义如下的广义剪力 　　（4） 　　这里，梁的剪切刚度 ， 为截面修正系数。并假定地基为广义Winkler地基，即法向反力与梁的挠度成正比，切向反力与梁底面的纵向位移成正比，于是 　　（5） 　　其中， 、 、 分别为地基法向反力系数、切向反力系数和梁的挠度。由式（2-5）可得到以位移 、 和剪力 表示的梁的平衡方程如下 　　（6） 　　将作用在梁上的横向荷载展开为如下形式的Fourier级数 　　（7） 　　对两端自由梁，将梁的位移和剪力展开为如下形式的带附加项的Fourier级数[15] 　　（8） 　　其中的 、 及 、 、 、 为待定常数，级数中所加的附加项是为了保证 和 能连续进行必要次数的求导。 　　将式（7）、（8）代入式（6）中，再把 、 、 、 的系数展开为相应的Fourier正弦级数或余弦级数，通过系数比较得 　　（9） 　　（10） 　　（11） 　　（12） 　　两端自由弹性地基梁的边界条件如下： 　　（13） 　　由式（8）知，式（13）中的第三个边界条件已满足。式（13）中的第一、第二个边界条件得可改写为 　　（14） 　　将式（8）代入式（14）后，得 　　（15） 　　式（9-12）和（15）即为本文得到的求解弹性地基梁代数方程组。若级数取到前 项，则待定系数 、 、 及 、 、 、 总共有 个，由式（9-12）和（15）组成的代数方程组中也共有 个代数方程，因此问题可解。由式（9-12）和（15）求出系数 、 、 及 、 、 、 后，代入式（8），可得到位移 、 及广义剪力 （剪力 接着由式（4）、（5）求出），再由式（4）、（2）可得到转角 、轴力 及弯矩 。 　　3. 算例及分析 　　设梁的长度 ，截面尺寸 ，截面修正系数 ，弹性模量 ，剪切