[高二数学寒假课程第1讲解三角形.docVIP

第一讲 解三角形 知识梳理 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 锐角三角形：任意两角之和大于90°，任意一个角都小于90° 直角三角形：其中一个角是直角。 钝角三角形：其中一个角是钝角，最大角的余弦值大于-1小于0. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 考点一：正弦定理 知识点： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 形式一： （解三角形的重要工具） 形式二： （边角转化的重要工具） 形式三： 形式四：，， 方法归纳： 1.已知两角A、B与一边a，由A+B+C=π及，可求出角C，再求b、c. 2.已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边b的对角B，由，求出C，再由求出c，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： A90° A=90° A90° ab 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 ab absinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解 absinA 无解 例题精讲： 【例1】在中，a=15，b=10，A=60°，则=（ ） A－ B. C.－ D. . 【答案】D 【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确. 【课堂练习】 1.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解 【例2】在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A、C和c. 【解析】 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA== =，则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-（A+B）=75°，c====.②当A=120°时，C=180°-（A+B）=15°，c====.故在△ABC中，A=60°，C=75°，c=或A=120°，C=15°，c=. 点二：余弦定理 知识点： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一： ，； 形式二：，，.方法归纳： 1.已知两边b、c与其夹角A，由，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. 2.已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. 【例3】在中，AB=3，AC=2，BC=，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由余弦定理得所以选Ｄ. 【课堂练习】 2.在ABC中，已知，，，求b及A； 【解析】∵=cos=∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos ∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴ 【例4】设内角所对的边分别为.已知，，. （Ⅰ）求的周长； （Ⅱ）求的值. 【解析】（Ⅰ）∵∴， ∴的周长为. （Ⅱ）∵，∴∴ ∵，∴，故为锐角，∴ ∴. 【注】常用到的三角公式：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的关系如下： 【课堂练习】 3. 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3+3-3=4bc .（Ⅰ） 求sinA的值； （Ⅱ）求的值.（Ⅰ）， 又，故. （Ⅱ） . 【考点三：正余弦定理的综合应用 知识点： 内角和定理：在中，；；面积公式： 在三角形中大边对大角，反之亦然. 方法归纳：一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 【例5若△的三个内角满足，则△A.一定是锐角三角形. B一定是直角三角形. C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 【答案】C 【解析】由及正弦定理得a：b：c=5：11：13由余弦定理得，所以角C为钝角 【课堂练习】 4.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【解析】2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B 5在△ABC中，b、c分别表示内角A、B、C的对边，如，判断三角形的形状. 【解析】方法一：已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=