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数学逻辑 一 、 数学逻辑 1.逻 辑 逻辑一词译自英文“Logic”，源于希腊文 “Logos”，原意“词”、“思想”、“理性”，在日常生活中，“逻辑”是一个多义词，既指事物发展规律，又指思维规律，也指逻辑科学。中学数学中的逻辑，主要指形式逻辑，也部分涉及辩证逻辑。 形式逻辑是一门以思维形式及其规律为主要研究对象，同时涉及一些简单逻辑方法的科学。 辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证法在思维领域的应用，从本质上说，辩证逻辑和唯物辩证法是一致的，唯物辩证法的基本规律也就是辩证逻辑的规律。 2.思 维 思维是指人脑对客观事物间接的和概括的认识过程；通过这种认识，可以把握事物的一般属性和本质属性。 思维有两个基本特点：间接性和概括性。 间接性主要指思维是人脑对于客观事物的间接认识过程。所谓间接认识，就是以其他事物作为媒介，借助于已有的知识和经验，去认识那些没有直接感知过的或者难以直接感知的事物，预见和推测事物的发展过程。 概括性主要指思维是人脑对于客观事物的概括认识过程。所谓概括认识，就是以大量已知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍去某类事物的个别特点，抽出其共性的东西，从而得出这类事物的一般特性，发现事物间的科学规律。 3.思维的具体过程： （1）发现问题是解决问题的起点，也是解决问题的归宿。问题就是矛盾；发现问题就是发现矛盾； （2）明确问题，就是发现问题之后，经过进一步分析，从一系列矛盾中，找出其主要矛盾。明确问题有两个基本要求：一是理清问题的症结之所在；二是准确地把问题表述出来。即在解答数学题中，表掘，弄清题目意思，分辨条件、问题（或结论），发掘题中概念的特征或图形的性质； （3）提出假设，就是明确问题之后，提出解决问题的原则、方案、途径和方法； （4）检验假设，就是验证提出的假设的真实性，检验假设通常有两条途径：一是在实践活动中检验，如通过画图、测量、实验等检验；二是在思维活动中去检验，如通过间接推理来检验假设。检验获得成功，就可以对所考察的问题作出相应的正确结论。 4.思维的常用方法： （1）分析和综合 在思维中把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素，把完整的过程分解为各个阶段，并分别加以研究的思维方法叫分析；把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段连接为整体进行考察的思维方法叫综合 （2）比较和分类 确定有关事物的共同点和不同点的思维方法叫比较；根据事物的共同性和差异性，把具有相同属性的事物归于一类，把不同属性的事物归入不同的类的思维方法叫分类 （3）抽象、概括和具体化 把各种事物的共同属性抽取出来加以考察的思维方法叫抽象；把抽象出来的事物的共同属性联合起来加以考察的思维方法叫概括；把抽象、概括中获得的概念和理论运用于实际，以恰当的实例来说明概念，解释理论的思维方法叫具体化 （4）系统化 把各种有关材料归入某种一定的顺序，纳入某种一定的体系的思维方法叫系统化 （5）类比、归纳和演绎 类比、归纳和演绎都从属于数学推理。推理是从一个或几个已知判断，推出另一个新判断的思维形式。推理可分为直接推理（是指只有一个前提的推理）和间接推理（是指两个或两个以上前提组成的推理）。类比推理、归纳推理和演绎推理均属于间接推理范畴。由特殊场合的知识推出特殊场合的知识思维形式，叫类比推理。具体地说，它是根据两个（或两类）事物的某些相同的性质，推测它们在别的性质上也可能相同的推理形式。（特别注意：类比推理所引出的结论不一定真实。） 由特殊场合的知识推出一般原理的思维形式，叫归纳推理。有完全归纳法和不完全归纳法两种常见形式。完全归纳法是指研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。因而由正确的前提必能得出正确的结论；不完全归纳法是指通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出这类事物的一般性结论。前提和结论未必有必然的联系。因此由不完全归纳法得到的结论，只有或然的性质，结论是否正确还需要经过理论的证明和实践的检验。 由一般原理推出特殊场合知识的思维形式，叫演绎推理。可分为直言三段论和假言直言三段论。直言三段论，是从两个直言判断（其中一个必为全称判断）得出第三个判断的演绎推理。第一个判断提供了一般的原理叫做三段论的大前提；第二个判断提出一个特殊场合的情形，叫做小前提；综合这两个判断，得到反映一般原理与特殊场合联系的判断，即为第三个判断，叫做结论。 例1.凡平行四边形（M）的对角线互相平分（P）（大前提），正方形（S）是平行四边形（M）（小前提）；所以，正方形（S）的对角线互相平分（P）（结论）。 假言直言三段论，是从一个假言判断和一个直言判断得出第三个判断的演绎推理。有肯定式和否定式两种；肯定式是从肯定假言前提的条件，从而肯定它的后件推理；否定式是从否定假言前提的后件，从而否定它