具有非完整约束的多刚体系统Lagrange分析..docVIP

多刚体系统动力学大作业 作业题目：具有非完整约束的多刚体系统Lagrange分析 学院：航空与材料工程学院 教师：高 蒲 云 学生：皮 兴 才 学号 二O一O年一月 具有非完整约束的多刚体系统Lagrange分析 前言： 现代科学和工程技术提出了许多复杂系统的动力学问题，各种车辆，机械，机器人，水下工作机，航天器等的研制都需要在制造样机以前对系统进行运动学和动力学的分析，结构参数的综合优化和全数字仿真，否则将可能失败造成巨大浪费。 在工程实际中所遇到的问题大多数是非自有系统——即所研究的对象位置速度在运动中常受到预先规定的某些限制，这些限制统称为约束。用牛顿定律直接解决这一类问题时往往显得很困难。例如：由N个质点组成的系统，首先要解除约束，代之以约束力，约束反力通常是未知的，然后，列出3N个包含未知约束力的二阶微分方程组，再加上约束方程组组成一个数目很大的方程组；显然方程数目越多，求解越困难，在有些情况下很可能无解。 在这种情况下，Lagrange从另一种途径出发来研究关于非自有质点系统的问题。也就是Lagrange方法。 基本原理：虚功原理。用数学分析的方法统一处理任意非自有质点系统的动力学问题。 求解问题： 质量均为m=1的两个质点M1和M2，由一长为的无重刚杆相连，并在铅垂面内运动，系统运动时，有一约束使其质心的速度始终沿着杆的方向。假设开始时，杆处于水平，质心的初速度为，杆的初角速度为，坐标放置如下图所示。求解两质点的运动和所系统的约束力. 方程建立： 广义虚位移： 考虑由个质点组成的系统受个完整双侧约束 设为系统的一组广义坐标，我们可以将各质点的坐标表示为： 由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到： 其中，为广义坐标的变分。 动力学普遍方程： 考虑由n 个质点组成的系统，设第个质点的质量为，矢径为，加速度为，其上作用有主动力，约束力。令为第个质点的惯性力，则由达朗贝尔原理，作用在整个质点系上的主动力，约束力合惯性力应组成平衡力系。若系统只受理想约束作用，则由虚位移原理得 Lagrange乘子法： 非完整系统动力学的基本问题是：已知主动力和系统各质点的一组为约束所允许的初始位置和初始速度，求系统的运动和约束反力。在这个问题中需要确定的未知量是3N个和3N个，总共有6N个未知量，但现在只有3N个动力学方程： 和个约束方程，而一般总是 3N,故方程的数目小于未知量的数目，那么，问题就不能得到完全的确定解，必须再补充个独立的方程，这可以从约束的力学性质得到。 考虑由N各质点组成的具有理想约束的离散的质点系统，该系统作用有个完整约束，个一阶线性非完整约束，所以，在3N个虚位移分量中，只有个是独立的。不失一般性，设个不独立的分量为.用虚位移所表示的约束方程为： 由该方程，我们可以将不独立的分量以独立的分量表示。将这L个不独立的分量代人理想约束条件，则式中独立的分量前的系数必须为0，由此，便得到之间的个方程，这样再加上3N个动力学方程及个约束方程，共6N个方程，便可以决定6N个未知量。 将的每个方程分别，然后求和，再与式相减得： 在上式中，对于不独立的虚位移分量可以这样处理，即通过适当选择而使这些分量前面的系数为0，余下独立的虚位移分量前面的系数必须全为0，于是便有： 这样就将3N个未知量通过约束方程以个未知量表示出来了，所以，系统未知量的个数与方程数量相等，达到封闭。 如果系统受到有完整约束及非完整约束为： 则： 对于完整约束： 对于非完整约束： 其中，都是待定乘子，将以上两式代入牛顿方程有： 此即为第一类Lagrange方程。 求解： 设两质点的坐标分别为，，系统的完整约束方程为： 式中系数为以后推算方便而加。 系统的非完整约束方程为： 由第一类拉格朗日方程，考虑到=1，则有 由式，式得： 将上两式消去得： 又由式: 将上两式消去得 为方便计，令 则式为： 式表明，可以看成一点在平面的圆周运动，式表示这点加速度恒指向圆心，所以，一定为等速圆周运动，如图所示， 故可以写为：