概率论与随机过程课件 3.4[精选].pptVIP

(ii) g,h在A中有连续偏导数； (iii)雅可比行列式J在A中处处不为0, 则(U,V)(U=g(X,Y),V=h(X,Y))具有密度 其中x(u,v),y(u,v)是由变换(Δ)决定的反函数. 例1: 设X,Y相互独立,都服从参数为λ=1的指数分布,而U=X+Y,V=X/Y. (1)求(U,V)的联合密度,(2)分别求U,V的概率密度,(3)讨论U,V的独立性. 解: 首先(X,Y)的概率密度为 记 A={(x,y)|x0,y0},显然有P{(X,Y)∈A}=1, 对变换(Δ): ,当(x,y) ∈A时,(u,v)的值域为:G={(u,v)|u0,v0} 且此变换满足定理中的条件(i)(ii)(iii)变换(Δ)解得 所以 由定理得(U,V)的联合密度为 (2)可由(U,V)的联合密度求出U,V的概率密度fU(u),fV(v) (3)容易看出,对于任意u,v有, 所以U,V相互独立. 例2: 设X,Y相互独立,服从同一分布N(0,1)而,(R,Θ)是平面上随机点(X,Y)相应的极经,极角,即有关系 求(R,Θ)的联合密度. 解:记A={(x,y)|(x,y)≠0},G={(r,θ)|r0,0≤θ2π},  显然有P{(X,Y)∈A}=1且变换 满足定理 的条件,并且 由定理得(R,Θ)的联合密度为 顺便我们看出R,Θ的概率密度分别为 并且R与Θ是相互独立的。 注释 在求Z=g(X,Y)的概率密度时,可以再找一个X与Y的函数W=h(X,Y)使得对变换 满足定理的条件,利用定理的结论就可以求出（Z,W）的联合密度，再由联合密度便可求出Z的概率密度。 可以用此方法导出X+Y，X/Y，XY，X-Y等简单函数的概率密度的一般公式。要求是重点掌握在独立性条件下求几个简单函数X+Y，Min(X,Y)，Max(X,Y)的分布。 小结  本章以二维随机变量为主，讨论了多维随机变量的(1)联合分布 (2)边缘分布 (3)X,Y的独立性 (4)条件分布 (5) 二维随机变量函数的分布。 对于多维随机变量不难推广，请同学自学 关于正态分布的一些结论： 1．若X?N(μ,σ2)，则 2．若X?N(μ,σ2)，则 3．若Xi服从二维正态分布 N(μi,σi2), Xi相互独立， i=1,2,…,n. 则 4．(X,Y)服从二维正态分布，ρ=0 ? X与Y相互独立（?X与Y不相关）； 5．(X,Y)服从二维正态分布? X,Y也服从正态分布；(X,Y)服从二维正态分布?其条件分布也是正态分布; 6．若X,Y为正态同分布且相互独立? 服从瑞利分布； 若X,Y为正态同分布且相互独立?Z=X/Y服从柯西分布； 7．数字特征：见下章。 * 注释 为了求Z=g(X,Y)的分布,首先Z是一个随机变量, 因为X,Y为定义在Ω={ω}上的随机变量,则z=Z(e)=g[X(e),Y(e)]。即Z的取值依赖于试验结果e, 所以Z是一个定义在Ω={ω}上的函数，Z是一个随机变量。 * 小结 从此例看出为求Z的密度关键在于求出Z的分布函数FZ(z),而在一般情况 Fz(z)计算这比一维情况困难得多,因此我们要求大家重点掌握以下几个简单函数的分布的概率密度的计算方法。 3.4 两个随机变量函数的分布 引言 问题的一般提法为:(X1,…,Xn) 为n维随机变量,Y1,…,Ym都是X1,…,Xn的函数 yi=gi(x1, x2,…, xn), i=1,2,···,m；要求(Y1,…,Ym)的概率分布. 设(X,Y)为二维随机变量,讨论 (1)X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维随机变量), (2)简单地介绍二维向量(X,Y)到二维向量(Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)变换问题。 3.4.1 二维离散型随机变量函数的分布 我们可以从下面两个例子中总结出一般的方法。 例1: 设(X,Y)的分布律为 X Y 0 1 2 3 4 5 0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05