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机械能守恒定律的解题思路 　　应用机械能守恒定律解题的基本步骤：①根据题意，选取研究对象；②明确研究对象在运动过程中受力情况，并弄清各力做功情况，分析是否满足机械能守恒的条件；③恰当地选取重力势能的零势能参考面，确定研究对象在过程的始、末状态机械能转化情况；④应用机械能守恒定律列方程、求解. 　　 [ 初末状态法] 　　例1 一根均匀铁链全长为[L]，其中[58]平放在光滑水平桌面上，其余[38]悬垂于桌边，如图1所示，如果由图示位置无初速释放铁链，则当铁链刚挂直时速度多大？ 　　图1 　　思路 以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力[G]和光滑水平桌面的支持力[N]、在铁链运动过程中，[N]与运动速度[v]垂直，[N]不做功，只有重力[G]做功，因此系统机械能守恒.铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算.选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解. 　　解析 初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能[Ep1=58mg?L].悬吊在桌边部分的重力势能 　　[Ep1=38mg（L-12×38L）=38mg?6.58L] 　　当整条铁链挂直（即最后一环刚离开桌边）时，既有动能[Ek2=12mv2]，又有重力势能[Ep2=mg?L2] 　　根据机械能守恒定律，有[E1=E2].即 　　[Ep1+Ep1=Ep2+Ek2] 　　故[58mg?L+38mg?6.58L=mg?L2+12mv2] 　　有[58gL+19.564gL-12gL=12v2] 　　所以[v=5564gL=55gL8.] 　　点拨 本题也可从线性变力求平均力做功的角度，应用动能定理求解，或应用[F-h]图线揭示的功能关系求解. 　　 [ 临界条件法] 　　例2 如图2所示，长l的细绳一端系质量m的小球，另一端固定于O点，细绳所能承受拉力的最大值是7mg.现将小球拉至水平并由静止释放，又知图中O′点有一小钉，为使小球可绕O′点做竖直面内的圆周运动. 试求OO′的长度d与θ的关系（设绳与小钉O′相互作用中无能量损失）. 　　图2 　　思路 本题所涉及问题层面较多.除涉及机械能守恒定律之外，还涉及圆周运动向心力公式.另外还应特别注意两个临界条件：①要保证小球能绕[O′]完成圆周运动，圆周半径就不得太长，即[OO′]不得太短；②要保证细绳不会被拉断，圆周半径又不能太短，也就是[OO′]不能太长.本题的研究中应以两个特殊点即最高点[D]和最低点[C]入手，依上述两临界条件，按机械能守恒和圆运动向心力公式列方程求解. 　　解析 设小球能绕[O′]点做完整的圆周运动，如图2所示.其最高点为[D]，最低点为[C].对于[D]点，由向心力公式，有 　　[F向D=mvD2r=mvD2l-d≥mg] 　　其中[vD]为[D]点速度，可由机械能守恒定律，取[O]点为重力势能的零势能位置，则 　　[12mvD2=mghD=mg[dcosθ-（l-d）]] 　　[=mg（dcosθ-l+d）] 　　由以上两式，解得 　　[d≥3l3+2cosθ]. 　　另依题意细绳上能承受的最大拉力不能超过[7mg]，由于在最低点[C]，绳所受拉力最大，以[C]点为研究对象，有 　　[Tmax-mg=6mg≥mvC2l-d] 　　其中[vC]是[C]点速度，由机械能守恒定律，有 　　[12mvC2=mghC=mg[dcosθ+（l-d）]] 　　由以上两式，解得[d≤2l2+cosθ] 　　故[OO]的长度[d]应满足[3l3+2cosθ≤d≤2l2+cosθ.] 　　点拨 本题小球在圆运动中，由于绳的拉力与运动方向相互垂直不做功，只有重力做功，故机械能守恒.求解竖直面内的圆周运动问题是机械能守恒定律的重要应用之一，并由此可以推导出一些有价值的结论.如从光滑斜面滑下的小球，进入半径为[R]的竖直光滑的圆环，为使之能做完整的圆周运动，其下滑时高度[h]应大于或等于[52R]；再如小球在细绳作用下在竖直面内做圆周运动，在最低点和最高点，绳上拉力的差等于[6mg]. 　　 [ 系统守恒法] 　　例3 如图3所示，半径为[r]，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴[O]，在盘的右边缘固定有一个质量为[m]的小球[A]，在[O]点正下方离[O]点[r2]处固定一个质量也为[m]的小球[B]，放开盘让其自由转动.问： 　　图3 　　（1）当[A]转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？ 　　（2）[A]球转到最低点时的线速度是多少？ 　　（3）在转动过程中半径[OA]向左偏离竖直方向的最大角度是多少？ 　　思路