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量纲作业 整理：夏伟光 1、量纲是否就是单位？两者有何关系。 答:量纲不是单位。量纲表示物理量的基本属性。不同属性的物理量具有不同的量纲。单位是用来对物理量度量的标准。 2、“Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变） “Dimension”开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思，指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物理量的基本属性。 3、自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择，选法是否唯一？ 答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h，下落时间t，重力加速度g。可以以h，g为基本量，t为导出量，以h，g为单位系统，也可以选t，g为基本量，h为导出量。t，g为单位系统，选法不唯一。 4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。 答： 对于一个单摆，当摆长一定时，摆球的位置由摆角确定，摆球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题，与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。 5、什么是谐振子，求自然频率。 答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。 取m，k为基本量并作单位系统，所以 6、把π定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更本质？ 答：相似三定理： 相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。 相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。 相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似准则数值相同，则两个现象相似。 相似三定理与π定理相比，显然π定理中各表示由其单位组成的无量纲量，而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相似准则”，显然，对于同一个函数f，f内各无量纲量值相同后，f值也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。 （1）相似第一定理：即π定理中若两个现象具有相同的函数，则其无量纲量数值相同。 （2）相似第二定理：即π定理中一个物理现象，因变量a是n个自变量的函数，即，取作为单位，将因变量a无量化为，即无量纲化因变量是个无量纲化自变量的函数。 (3) 相似第三定理：即π定理中两个现象的各无量纲量数值相同，且函数f形式相同，则f值也必定唯一。 相似三定律这么复杂的表述，用π定理一句话就能得到，显然π定理更本质。 7、用隐函数证明π定理。 答：把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量，其总数是N。记作，则可将物理规律表示为 不妨取前k个变量，它们是，其量纲分别为。后面N-k变量是导出量，其量纲可表示为基本量的量纲的幂次式： 用基本量作为单位系统，来度量其余量，由此得到的量值都是无量纲的纯数，它们满足的关系是： 上式后面N-k个为对F起作用的无量纲因变量，记为，因此函数关系可写为 8、推导物理量量纲的幂次表达式的最后一步。 答： 两边积分得： 所以 由于 而的取值也具有任意性，可取 可得： 代入（1）式可得：C=1，所以 可见，与之相对应，物理量X的量纲表示式应为 9、盛水容器底侧小孔的出流速度。（有图） 答：小孔的出流速度与容器中水的高度h，重力加速度g和小孔的直径d有关。 取为基本量，故有 将在x=0点泰勒展开， 由于是小孔，《1，所以≈=C，即, 由不可压缩流体的伯努利方程知 C=，即 。 10、若溢洪道断面为三角形，讨论溢洪流量。（有图） 答：单位时间内流过挡墙的质量流量Q，控制参数有三角形的底部顶角，流体的密度，上游水头h，重力加速度g。 取，g，h为单位系统，则：，所以 11、分析定常管流的摩擦系数和总管阻？什么情况下可不考虑密度的影响，说明其物理原因。 答：摩擦系数为单位面积上的管流阻力和管动压之比。因此，与管直径d，液体密度，粘度系数，流速U相关。即 取为基本量并作单位系统，得 总管阻 （2）层流时，可以不考虑密度的影响。层流时，每个质点基本上作等速运动，流元所受的惯性力和粘性力相比较小，惯性效应不明显。因此可不考虑惯性即密度的影响。 12、在低速绕流问题中，如水和空气互相模拟，问机、艇的尺寸和速度的缩比范围是什么？ 解：固体受到流体的作用力 取作为单位，得，其中 低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件，即 ① 几何相似：和； ② 动力学相似：。 （1）先分析低速飞机在水中的模拟 对于低速飞行的飞机，飞行的速度范围200～400km/h，即50～120m/s，一般飞机的尺寸：长30～60m，翼展30～60m，高10～20