《衔接平面几何.docVIP

3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，，另作直线交于点，不难发现 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， ， 且求. 解 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 例4 在中，为的平分线，求证：. 证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E， AD平分 由知 . 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 练习1 1．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（ ） A． B． C． D. 2．如图3.1-7 ，求. 3．如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长. 4．如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：. 5．如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：. 3.2 三角形 3．2．1 三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE，设AD、BE交于点G， D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且， ，且相似比为1：2， . 设AD、CF交于点，同理可得， 则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5） 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8） 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 练习1 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是___________; （2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由. 3.2.2 几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：. 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 练习2 直角三角形的三边长为3，4，,则________. 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积. 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量. 习题3.2 A组 已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（） A． B． C． D． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A．6 B