《转化与化归思想精练.docVIP

转化与化归思想方法的运用 在高中数学的学习中，我们常常会遇到这样一类问题，直接解决较为困难，但若把问题加以转化，就能使问题的解答过程变得较为简单。这类问题的解决方法就是转化与化归的思想方法。 转化与化归不只是一种重要的解题方法，更是一种基本的思维策略。数学中的转化与化归思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。转化与化归的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在转化思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们转化的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，通过不断的转化，把复杂、不规范、不熟悉的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。实现这种转化的方法是多种多样的，例如我们熟悉的配方法，待定系数法，整体代入法等等。 而就不同的功能，转化与化归方法的运用于又可以分为几种不同的类型 由特殊到一般 一般成立则特殊也成立，由特殊可以得到一般的普遍规律，这是一种基本的化归思想的体现，在平时解题过程中经常运用，普遍涉及。一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。 例1：若，满足，的面积等于多少？ 解：可取的某些特殊值代人求解。由条件可得。利用特殊值，如设代 入，则，故面积为1。 例2：已知函数,求 的值. 解：直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系 .: = == 于是 = = 由数到形的转化 在许多数学问题中，许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。虽然在做大题目时要求我们给出具体的运算过程，不能直接由图给出答案，但是数与形转化思想的培养对于我们思维能力的提升有重要意义，而且在做选择题，填空题时，也可以帮助我们快捷准确地得出答案。 例3：在直角坐标系平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直的线共有几条？ 解：与点距离为2的点的集合为圆，与点距离为3的点的集合为圆，则题目所求转化为求二圆的公切线。由于二圆相切，由图可得共有3条。 例4：表示不超过的最大整数，求方程的实根个数。 解:本题直接求解较为困难，但是将方程转化为，设画出图象，如右图，直接得到共有三个交点。 例5：如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是什么？ 解：可以看作有一个圆柱体，以为轴，而点就在该圆柱的侧面上，而圆柱的侧面与平面的交线即为轨迹。所以根据图，可以得到该轨迹为椭圆。 例6;已知向量求向量的夹角范围。 解：画出图象，如右图，点在圆上移动，夹角最大时与圆相切，最小时在同一直线上时，根据各角度条件，得出范围为 由常量到变量 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。在处理这类问题时应该注意将所求向已知转化，由常量到变量转化，易于得出答案。 例7：设是半径为5的半圆的直径（如图），是半圆上的两点，已知，求的值。 解： 例8：已知曲线系的方程为,试证明:坐标平面内任一点(,在中总存在一椭圆和一双曲线过该点. 解：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间和(4,9)内分别存在k值,使曲线过点(a,b).设点()在曲线上,则整理得 ① 可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在和(4,9)内分别有一根,即对平面内任一点(a,b),在曲线系中总存在一椭圆和一双曲线通过该点。 例9：对于任意函数的值大于零，求的取值范围。 解：，只要 ，解得的取值范围为。 由陌生到熟悉 数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化。把看似陌生而复杂的题型转化为我们熟悉的模式，运用我们熟练运用的方法解答实际问题。 例10：求证：，则 证明：可视为在以为四顶点的正方形中到四顶点的距离之和，由两点之间