綜述(赵苗).docVIP

姓名：赵苗 学号：12207210144 专业：12信息专升本（1）班 变量代换法在求解微分方程中的应用 文献综述 变量代换法在求极限、积分计算 、解微分方程以及级数中用的很多, 几乎贯穿了高等数学的全部内容,具有灵活性和多样性的特点 。变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一, 属于数学变换方法的一种, 就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换, 使之转化 。使用变量代换法，可以将函数的自变量或者因变量，从复杂变简单，从困难便容易，将没有解决的问题变成已经解决的问题。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法, 我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型, 这样能使求解问题大为简化, 进而求出通解。但是，值得我们注意的是，如果我们能很好的抓住方程的本质特征，利用变量代换形式的多样性，就可以找到多条解方程的途径。 通过学习变量代换法让我们了解到复杂的问题可以简单化，换一种思维去考虑问题，当遇到一个复杂的问题尽管我们可以用常规的方法解决，最终找到答案。但是我们可以用一个变量进行代换使问题变成,问题变得简单容易从而求出的解,再通过逆变换得到的解。 1、变量代换法在求解一阶微分方程中的应用【见文献5】 （1）对于齐次微分方程，这里是的连续函数。通过变量代换，化为以为未知函数的可分离变量方程 ，可求解。 （2）对于准齐次方程 ，其中均为常数。 （3）对于方程，这里均为常数，作变量代换，将方程化为变量分离方程，可求解。 （4）对于方程这里均为常数。作变量代换，使方程化为变量分离方程，可求解。 （5）对于方程，其中为关于的齐次函数。作变量代换，使方程化为变量分离方程，可求解。 （6）对于方程，这里为常数。作变量代换，使方程化为变量分离方程，可求解。 （7）一阶线性方程，其中为已知函数。该方程所对应的齐次方程的通解为，作代换 ，以此作为原方程求解，代入原方程中得，从而解出原方程求解。 伯努力（Bernoulli）方程，其中。作代换或，将方程化为以为未知函数的线性微分方程，然后再按线性微分方程作代换求解。 （9）黎卡提（Riccati）方程。若已知它的一个解为，则作代换，带入原方程化为以为未知函数的伯努利方程，可以求出其通解，进而求出黎卡提方程的通解。 对黎卡提方程，其中均为常数，并且，则当时，可经过适当的变换化为可分离变量方程。 对于一阶非齐次线性微分方程，若，则方程变为一阶齐次线性微分方程，有通解，若对原方程作变量代换，求得待定函数，带回变换，即得方程的通解。 一阶隐式微分方程，形如的方程解法是，假设函数有连续的偏导数，引进参数，则，将两边对x求导，并代入，得到是关于x,p的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可解出方程的解。 变量代换法在求解二阶微分方程中的应用【见文献8】 对于二阶变系数线性齐次微分方程 （1） 设是方程（1）的一特解，作变量代换，将方程化为一阶线性微分方程，可求解。 对于二阶变系数线性非齐次微分方程 （2） 当方程（2）满足（为常数）时，作自变量代换 （为常数） （3） 则方程（3）可化为 （4） 方程（4）两边同时除以， 得 （5） 由于，所以，又为常数，由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程 变量代换法在求解二阶常系数线性微分方程中的应用【见文献7】 (1)对二阶常系数线性非齐次方程 (其中p,q为常数) (1) 定理1：若不是特征方程的根，则方程 可经过变量代换转化成Z的齐次方程。 推论1：若不是特征方程的单根时，则方程可经过变量代换【其中】转化成z的齐次方程。 推论2：若是特征方程的重根时，则方程可经过变量代换[其中]，转化成Z的齐次方程。 (2)对方程(5) 定理2：若不是特征根，则方程，总可经过变量代换： 转换为关于Z的齐次方程。 方程 （6） 定理3：若不是对应齐次线性微分方程的特征方程的根时，则方程 （6） 总可以经过变量代换 （7） 转化成关于的线性齐次方程，其中 3、变量代换法在求解某些类型高阶微分方程中的应用【见文献6】 在求解某些类型高阶微分方程时，可以通过变量代换化为较低阶微分方程，进而达到求解的目的。 形如高阶方程的高阶方程 如能从中解出，令则有，分离变量积分，如解出，则，再积分n-1次可求得方程的通解。如不能解出可通过代换引进参数,将都写成的函数，即将原方程写成参数方程： 然后由关系式，求出方程的参数形式通