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第七章 多自由度系统的复模态理论基础 §7.1 概述 当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且满足下列条件之一： （7－1） 则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。 但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析，就必须采用所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的复模态理论。 §7.2复模态的概念 线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为： （7－2） 设其解为： （7－3） 代入方程（7－2）得到： （7－4） 矩阵称为系统的特征矩阵。方程（7－4）是一个“二次特征值”问题，要（7－4）式有非零解的充要条件为： （7－5） 上方程是一个关于的次代数方程，有个特征根，通常都是复数，由于阻尼矩阵的正定性，而且由于质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实数矩阵，一定具有负的实部，且共轭成对出现。与复特征值对应的特征矢量也都是共轭复数形式。每一对共轭复数特征根，都对应着系统中具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。 假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以表示为： （7－6） 系统的个复模态——复特征矢量，可以构成一个在系统位形空间的阶的矩阵，称为复模态矩阵： （7－7） 由于系统在位形空间中的物理坐标只有个，而复模态却有个，所以不能用（7－7）的复模态矩阵对（7－1）中的进行坐标变换，来对方程（7－1）进行解耦。为了解决这个困难，我们将（7－1）式转换到状态空间： （7－8） 其中： （7－9） （7－10） 称为系统的状态变量，系统在状态空间的自由振动方程为： （7－11） 设其特征解为： （7－12） 代入方程（7－11），得到： （7－13） 其特征方程为： （7－14） 将的定义式代入： （7－15） 即： （7－16） 由于正定，所以有： （7－17） 与（7－4）比较可知: （7－18） 故（7－12）式可以写为： （7－19） 又因为： （7－20） 所以有： （7－21） 即在状态空间中，对应于复特征根的特征向量为： （7－22） 它被定义为系统在状态空间中的第阶复模态。 §7.3复模态的正交性及其归一化 对应于复特征对，系统的特征方程分别为： （7－23） （7－24） 用左乘（7－23）式，并用左乘（7－24）式并转置得到： （7－25） （7－26） 上两式相减得到： （7－27） 由此得到复模态对和的加权正交关系如下： 当 （7－28） 当时，则有： （7－29） 且有 （7－30） 而： （7－31） 令： （7－32） 并将（7－31）式做为复模态的归一化条件，为第r阶归一化复模态。显然，对于阵有： （7－33） §7.4求解振动响应的复模态叠加法 与实模态分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵： （7－34） 对状态向量进行模态坐标变换； （7－35） 将（7－35）代入（7－8），并前乘得到个完全解耦的方程： （7－36） 其中， （7－37） 或写成： （7－38） 因为： （7－39） 所以： （7－40） 而： （7－41） 在零初始条件下，（7－40）的解为： （7－42） 因为： （7－43） 其中， 所以： （7－44） 当激励力为复简谐力时， （7－45） 则： （7－46） 项代表随时间衰减的自由振动项，因此，如果只考虑稳态响应，则： （7－47）