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几何篇 梅涅劳斯定理：当直线交三边所在直线于点时， 以及逆定理：在三边所在直线上有三点 ，且 ，那么 三点共线。 塞瓦定理：指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：  　　(sinBAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F， 如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。” 正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有： ，在△ABC中，余弦定理可表示为： 2=a2+b2-2ab cosC a2=b2+c2-2bc cosA b2=a2+c2-2ac cosB 托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系, ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有 AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。 在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。 逆定理： 如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。 蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 莱莫恩（Lemoine）定理内容：过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线。直线PQR称为△ABC的莱莫恩线。 笛沙格同调定理平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 五心的性质 三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）三角形的外心到三顶点的距离相等； （3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （4）三角形的内心、旁心到三边距离相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍. 下面是更为详细的性质： 三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。性质1垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。 性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。 性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 性质8锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 性质9锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质：性质1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等。 性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+1/2∠A，类似地还有两式；反之亦然。 性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接