《立体几何的证明方法.docVIP

立体几何教学建议 密云二中 王德臣 一、课时安排（共约45课时）第一节 平面　　　　　　　 3课时第二节 空间直线　　　　　　 5课时第三节 直线与直线平行的判定与性质　　　　　 3课时 第四节 直线与直线垂直的判定与性质 　　　　　4课时第五节 两个平面平行的判定与性质　　　　　　 3课时 第六节　两个平面垂直的判定与性质　　　　　　 3课时 第7节 棱柱 4课时 第8节 棱锥 4课时 研究性学习 欧拉定理 2（3）课时 第9节 球 4课时 小结与复习 3课时 空间向量法及其应用 7课时 其中空间直角坐标系、向量的加法、减法、向量的平行于垂直的坐标运算、向量的內积、在上的投影等约1课时。 直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行约2课时 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角约2课时 异面直线间的距离、点到直线的距离、直线与平面的距离约2课时。 二、立体几何重点解决两个方面的问题： 线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的平行与垂直关系的判定与证明。 空间角（包括异面直线，直线与平面、平面与平面）所成的角与距离（点到线、点到面、两条异面直线，直线与平面间、两个平行平面、球面上两点）间的距离度量。 三、学习立体几何的难点（教学过程中注意培养） 在平面内如何表示空间图形（画图、空间想象） 数学语言丰富（文字、图形、符号语言间的转换） 逻辑关系（正确、恰当地表述定理） 证明方法繁多（直接法、反证法、分析法、同一法、等价转化） 四、知识梳理 度量关系 五、教学建议： 1、定义（或概念）、定理、公理、法则等，要求学生要准确叙述出来，分清它们的条件与结论，能熟练地用符号语言表述，并能画出正确的图形。对课本上一些重要题目也要求学生能用文字语言表述清楚，用数学符号语言表示正确，画出立体感比较明显的几何图。 例：直线与平面平行的性质定理（图形、文字叙述、数学符号表示） 2、精讲多练，一题多解。 例：已知矩形ABCD所在的平面外一点 P, PA平面ABCD, E、F分别是AB、PC的中点，求证：EF//平面PAD 解法一：取PD的中点G ,连接FG, AG则四边形 AEFG是平行四边形，所以EF//AG,从而结论得证 解法二：通过构造含EF的平面与平面PAD平行。 再利用面面平行的性质定理证得。 解法三：利用空间向量的方法，找平面PAD 的法向量（），再证 解法四：利用空间向量的方法，证 再说明点E（或直线EF）在平面PAD外即可证得。 3、在解题的过程中，注意思考总结。对各种角、距离的定义与解题 过程要认真总结归纳。 （1）求异面直线所成的角主要方法： ① 依据其定义，可归纳为“选点——作平行线——解三角形”。 一般用“三点定面法”即在异面的两线段的4个端点中，适当选其中三点确定平面，然后在其确定的平面上先考虑能否平移其中一条线段与另一条相交，如果不行，则可以考虑另两种做法：（Ⅰ）找线段中点或图形上的特殊点，来作两异面直线的中位线或其它平行线；（Ⅱ）通过补形来达到平移其中一条直线与另一条直线相交。当然选点原则是所得到的三角形好解，如直角三角形等。 ② 采用向量代数法，已知基向量的模长和夹角。 ③采用向量坐标法，建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线上的方向向量的坐标；然后用数量积公式求出其夹角的余弦值。 例；如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．(1)求异面直线MN与所成的角．（600） (2)求直线MN与平面所成的角。 (2)求二面角常用以下方法：先判断是否可能为直二面角（要证明），其次可用以下方法： ① 定义法：在二面角棱上取一点分别向两个半平面作垂直于棱的射线.由于棱上选点的任意性对下一步计算不利,所以我们常先在一面内选一特殊点作棱的垂线交棱于一点。再过这一点在另一面作垂直于棱的射线，从而得到二面角的平面角。再解三角形。 ② 三垂线定理法：过一平面内一点分别作棱的垂线和另一面的垂线，连接两个垂足，可得二面角的平面角。再解直角三角形。以上方法是已知了二面角的棱，可归纳为“选点一—作平面角—一证明——解三角形”。求解时，先要分析是否为直角三角形。 ③向量代数法：建立适当的空间直角坐标系，分别取这两