空間曲线及其方程.docVIP

§7. 4 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设 　　　　　　　　　　F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0 是两个曲面方程, 它们的交线为C. 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组 . 反过来, 如果点M不在曲线C上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组. 因此, 曲线C可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程. 例1?方程组表示怎样的曲线?? 解?方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O, 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线. 例2 方程组表示怎样的曲线?? 解?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半行为a的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点, 半行为. 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线. 例2? 方程组表示怎样的曲线?? 解?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半行为2a的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a? 0) , 半行为a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线. 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数??? . 当给定t=t1时, 就得到C上的一个点(x1, y1, z1); 随着t的变动便得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 例3?如果空间一点M 在圆柱面x2+y2=a2 上以角速度w绕z轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数), 那么点M构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程. 解?取时间t为参数. 设当t=0时, 动点位于x轴上的一点A(a, 0, 0)处. 经过时间t, 动点由A运动到M(x, y, z)(图7-44). 记M在xOy 面上的投影为M￠, M￠的坐标为x, y,0. 由于动点在圆柱面上以角速度w?绕 z 轴旋转, 所以经过时间t,∠AOM￠=?w t. 从而 x=|OM￠|cos∠AOM￠=acos?w t? y=|OM￠|sin∠AOM￠=asin?w t, 由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 z=MM￠=vt . 因此螺旋线的参数方程为 ? 也可以用其他变量作参数; 例如令?=w t, 则螺旋线的参数方程可写为 ? 其中, 而参数为??. *曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程? 形如 ? 例如空间曲线? (??t??)? 绕z轴旋转? 所得旋转曲面的方程为 (??t??? 0???2?)? ……(4) 这是因为? 固定一个t? 得?上一点M1(?(t)? ?(t)? ?(t))? 点M1绕z轴旋转? 得空间的一个圆? 该圆在平面z??(t)上? 其半径为点M1到z轴的距离? 因此? 固定t的方程(4)就是该圆的参数方程? 再令t在[?? ?]内变动? 方程(4)便是旋转曲面的方程? 例如直线 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 ? (上式消t和?? 得曲面的直角坐标方程为) 又如球面x2?y2?z2?a2可看成zOx面上的半圆周 (0????) 绕z轴旋转所得? 故球面方程为 (0????? 0???2?)? 三、空间曲线在坐标面上的投影 以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影). 设空间曲线C的一般方程为. 设方程组消去变量z后所得的方程