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人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义: 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 性质１ （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 设 、 为常数，则 性质2 对积分区域具有可加性 性质3 若 为D的面积,则 性质4 若在D上 特殊地 则有 性质5 性质6 （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. 三、利用直角坐标系计算二重积分 ［X－型］ 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果积分区域为： ［Y－型］ X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 或记为 或记为 利用直角坐标系计算二重积分 1、 2、 X-型区域 Y-型区域 a b x y o D c d D y x o 解法一 [X-型] 解法二 [Y-型] X=Y Y=2 X=1 Y X 2 1 1 2 解 例5 化下列二重积分为二次积分（两种次序） 由 围成。 故 解 D可表示为： D又可表示为： o 4 4 x y=x y2=4x y x y 例5 化下列二重积分为二次积分（两种次序） 由 围成。 或 解 例7 计算下列二次积分 解 原式 o 1 1 y x y=x y=x1/2 原有积分次序不可求！ 解 积分区域如图 解 积分区域如图 x y z o 例10 计算下列立体的体积 由四个平面 围成的柱体被平面 及 截得的立体的体积。 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） 四、小结 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数． 思考题解答 练 习 题1 练习题1答案 练 习 题2 练习题2答案 问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 小结 思考题 二重积分的计算 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶 １．曲顶柱体的体积(volume) 一、问题的提出 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示. 刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀 的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的 情况. 曲顶柱体体积的计算步骤是： 用若干个小平顶柱 体体积之和近似表 示曲顶柱体的体积. 曲顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域 ，求对应小曲顶柱体体积的近似值. ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，求质量. 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二、二重积分的概念 *