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数学建模作业8
佛山科学技术学院
上 机 报 告
课程名称 数学建模
上机项目 牙膏的销售量
专业班级
问题提出
某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。
表1 牙膏销售量与销售价格，广告费用等数据
（其中价格差指其他厂家平均价格与公司销售价格之差）
销售周期
公司销售价格/元
其他厂家平均价格/元
广告费用/百万元
价格差/元
销售量/百万支
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3.85
3.75
3.70
3.70
3.60
3.60
3.60
3.80
3.80
3.85
3.90
3.90
3.70
3.75
3.75
3.80
3.70
3.80
3.70
3.80
3.80
3.75
3.70
3.55
3.60
3.65
3.70
3.75
3.80
3.70
3.80
4.00
4.30
3.70
3.85
3.80
3.75
3.85
3.65
4.00
4.10
4.00
4.10
4.20
4.10
4.10
4.20
4.30
4.10
3.75
3.75
3.65
3.90
3.65
4.10
4.25
3.65
3.75
3.85
4.25
5.50
6.75
7.25
5.50
7.00
6.50
6.75
5.25
5.25
6.00
6.50
6.25
7.00
6.90
6.80
6.80
7.10
7.00
6.80
6.50
6.25
6.00
6.50
7.00
6.80
6.80
6.50
5.75
5.80
6.80
-0.05
0.25
0.60
0
0.25
0.20
0.15
0.05
-0.15
0.15
0.20
0.10
0.40
0.45
0.35
0.30
0.50
0.50
0.40
-0.05
-0.05
-0.10
0.20
0.10
0.05
0.60
-0.05
0
0.05
0.55
7.38
8.51
9.52
7.50
9.33
8.28
8.75
7.87
7.10
8.00
7.89
8.15
9.10
8.86
8.90
8.87
9.26
9.00
8.75
7.95
7.65
7.27
8.00
8.50
8.75
9.21
8.27
7.67
7.93
9.26
根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：
1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；
2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。
二、问题分析
由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身，因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更合适。
三、模型假设
记牙膏销售量为y，其他厂家平均价格与公司销售价格之差（价格差）为，公司投入的广告费用为，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为和，，基于上面的分析，我们仅利用和来建立y的预测模型。
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
（1）为了大致地分析y与和的关系，首先利用表一的数据分别作出y对和的散点图
y与x1的关系
程序代码：
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];
y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28
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