数学建模论文一.docxVIP

一.摘 要艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，虽然有一些针对艾滋病的疗法，但迄今为止还没有关于这些疗法疗效的评价和预测方法，因此合理评价艾滋病疗法及预测其疗效有着重要的意义。本文就艾滋病治疗问题经过合理的假设，严密的理论推导，科学的建模求解及实际验证，理论联系实际，得到较为理想的结论：在处理问题（1）时：我们通过做出散点图和前十个患者的CD4含量指标判断大概走势，接着利用曲线拟合方法，建立了模型一，给出了CD4含量的变化趋势曲线。得到了25周左右停药的结果。在处理问题（2）时：考虑利用哑变量法，以疗法四为基本，用带参数的假设检验，列出Log(CD4 count+1)关于周期的函数运用哑变量法（也称虚拟变量）结合最小二乘法对参数进行求解。再通过做出函数图像，求出均值比较和作显著性判断，侧面验证了疗法四的疗效是最好的。在考虑疗法与花费两个维度的问题（3）时，我们决定用层次分析，通过层析分析法进行模型的建立：设立里三个层次分别为：疗法选择，疗效和价格，四种疗法；然后从第二层开始，用互反成对比较矩阵法和1-9比较尺度构造互反成对比较矩阵；进而利用一致性指标，计算权向量并做一致性检验；最后得出疗法一为最优。在得出方法一为最优后模仿问题（2）中的哑变量法，仍然以疗法四位标准，以单位时间内下降的CD4浓度为指标，求得，比较后得到相同的结果，增强了疗法一的可信度。关键词：曲线拟合 显著性判断 散点图 哑变量法 互反对称比较矩阵二.问题重述艾滋病病毒通过破坏人的免疫系统，使人体丧失各种疾病的抵抗能力，吞噬了近3000万人的生命，令人遗憾的是，迄今为止人类还没有找到能够根治AIDS病毒的疗法或者特效药，现如今的医疗手段只能是尽量减少病人体内的HIV病毒的数量，同时产生更多的CD4，至少降低CD4减少的速度，以提高人体的免疫力。现得到了美国医疗试验机构公布的两组数据，附件一是300多名同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine和indinavir三种药物的病人每隔几周测得CD4和HIV的浓度。附件二是1300多名病人分成四组按不同疗法治疗后测得CD4的浓度。四种疗法分别是600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。需要解决的问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。三.实验假设1、一种疗法测试的病人每天服药的时间和药量都严格一致。2、排除特殊体质对HIV病毒不治而愈的可能性3、病人在测试期内被体外HIV病毒感染的概率为0。4、患者体内除HIV病毒外，没有其他入侵CD4细胞的病毒。5、HIV病毒只入侵CD4细胞，而不再入侵其它细胞。6、药物进入体内后只与HIV病毒和CD4细胞相作用。7、疗法的费用在测试时间内保持不变。8、药物的供应量充足，即不会出现供不应求的情况。9、病人均积极配合治疗。10、假定题目要求研究的测试期为40周。四.主要变量符号说明：均值：方差:Log(CD4 count+1):哑变量参数：哑变量系数：测量时间（周）A：选择疗法：疗效：花费：疗法一，二，三，四：特征向量：最大特征值CI：一致性指标RI：随机一致性指标CR：一致性比率五.模型建立1.关于问题一模型的建立：我们首先将附件一中的数据利用EXCEL进行处理，将数据汇总之后，将同一周进行测试的病人的CD4和HIV的含量指标取平均值（数据见附录1）。根据得出来的数据，以测试时间为横坐标，得出来的指标平均值为纵坐标，我们绘制出了散点图如图1.1：图1.1显而易见的是有一些离群点，我们通过假设样本服从正太分布，计算整个样本的均值和方差，筛除以外的奇异点后求均值拟合曲线得到图形二，再任取前面10名病人的每隔几周测得的CD4浓度与CD4测试时间的函数图像