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盈亏问题 【盈亏问题公式】 （1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式： （盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 　　例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 　　解（7+9）÷（10-8）=16÷2 　　=8（个）………………人数 　　10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 　　或8×8+7=64+7=71（个）（答略） （2）两次都有余（盈），可用公式： （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。 　　例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 　　解（680-200）÷（50-45）=480÷5 　　=96（人） 　　45×96+680=5000（发） 　　或50×96+200=5000（发）（答略） （3）两次都不够（亏），可用公式： （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 　　例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？” 　　解（90-8）÷（10-8）=82÷2 　　=41（人） 10×41-90=320（本）（答略） （4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式： 　亏÷（两次每人分配数的差）=人数。 （5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式： 盈÷（两次每人分配数的差）=人数。 解决盈亏问题常用比较的解题策略： 通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。 此类问题基本数量关系有： ①??? 盈适足问题： 盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ②??? 亏适足问题： 亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ③??? 两盈问题： （盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ④??? 两亏问题： （亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ⑤??? 盈亏问题： （盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 第44讲学习比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。 第45讲学习较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。 【题目】： “雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。问这个小队有多少人？一共要栽多少棵树？ 【解析】： 可以画出线段图帮助理解题意，如下图： 观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。 雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）； 而每个人多栽：7－5=2（棵）； 所以小队人数为：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。 由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数： 5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）。 【题目】： 小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？ 【解析】： 转化题中条件“每人分20只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分20个苹果，就少20个苹果。 可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20个苹果和每人分18个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。 分掉的苹果总数相差：2＋20=22（个）； 每人多分：20－18=2（个）； 所以共有小朋友：22÷2=11（个）。 由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如： （11—1）×20=200（个）。 【题目】： 学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则空2人的位置；如果每条船坐5人，则空出16人的位置，问有学生多少人？共租了多少条船？ 【解析】： 这是两亏问题，每条船坐3人，空2个位置即少2人，每条船坐5人空16个位置少16人，每条船坐5人比每条船坐3人多空出了14个位置，即每条船坐5人比每条船做3人，可以多坐14人。 比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。 可乘坐总人数相差：16－2=14（人）； 每条船乘坐人数相差：5－3=2（人）； 所以共租船：14÷2=7（条）。 根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如： 7×3－2=19（人）。 【题目】： 全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人？ 【解析】： 转化题中条件“每组12人，少2组”，即按原定组数分组，每组12人，少了24人。 转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。 总人数增加：12×2=24（人）； 每组人数增加：12－8=4（人）； 原定组数为：24÷4=6（人）。 再根据