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代数史 代数是慷慨的，它提供给人们的常常比人们要求的还要多。 达朗贝尔 过去的三个世纪中，代数在两条轨道上延续：一条是走向更高层的抽象理论，另一条是走向具象的计算方法。 约翰.塔巴克 前言 1．重视难点。 数学的难点表现在什么地方？表现在如下三个方面： 其一是概念，数学概念是从实际事物中抽象出来的，含义精确。正确地学好概念是学好数学的关键。 另一个难点是符号。可以说，数学是符号的科学。其深远意义还在于，它为其他科学，如物理学、化学等科学提供了简明语言。数学符号的作用在于它们给出了抽象概念的简单的具体化身，而且还给出了非常简单的实现各种运算的可能性。 第三难点是抽象。数学的抽象远远超过其他科学，数学的抽象度是逐步提高的。 在教学中，我们应当突出重点，分散难点，或化解难点，以利学生的理解。 2． 传授理解。 对代数学来说，理解什么？我们认为，有两件事情是重要的：一件是理解代数的基本思想，一件是掌握代数的基本方法。 我们知道，代数是研究“运算”的科学。运算有两层含义：一是运算对象，一是运算或变换的规则。但是，运算对象在不断扩充，运算的含义也在变化和加深。 §1. 中学代数的主要内容 中学代数主要完成了那些成果呢？ 1．从数值运算过渡到符号运算。算术的特点是数值运算，代数的特点是符号运算。中学代数实现了从数值运算到符号运算的过渡，沿着抽象思维的道路走上了数学的更高级的阶段。但是，在中学代数中，符号代表的仍然是数。 2．二元、三元一次线性方程组的解。三元一次线性方程组的一般形式是 333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa=++=++=++ 为了求解线性方程组，我们采用逐次消去一些未知量的方法以简化方程组，这就是实施了下面的变换： 1）互换两个方程的位置； 2）把某一方程两边同乘一常数； 3）某一方程加上另一方程的常数倍。 这些变换称为初等变换。这样，在代数里第一次出现了变换的概念。一个简单而重要的事实是，线性方程组经过一系列初等变换,变成一个新的方程组，新的方程组与原方程组同解,即，在初等变换下，方程组的解保持不变，或者说，解是初等变换下的不变量。由此，代数方程组给两个重要的概念：变换与不变量。 由线性方程组的理论自然地引出了2、3阶矩阵和2、3阶行列式的概念，这2 些知识为将来学习线性代数做了准备。 3．求解一元二次方程。一元二次方程的一般形式是 。02=++cbxax 设方程的根是，我们有如下的重要结果： 21,xx 求根公式。。aacbbx2422,1?±?= 公式指出,借助系数的代数运算——四则运算与开方运算可以表示方程根。 一个自然的问题是,这种公式可以推广到任意高次方程吗?或者，任意高次方程的根通过系数的代数运算得到吗？答案是,这种公式限于5次以下的方程。 韦达定理——根与系数的关系：，。abxx?=+21acxx=21 公式指出,可以用方程的根来表达方程式的系数。 这种表示法可以推广吗？即，对任意高次方程，都有相应的公式吗？答案是，对任意次方程都有相应的公式成立。n 4．数学归纳法。初等代数中引入了数学归纳法，这是整个代数学中最基本的方法之一，因为代数中的许多定理是通过归纳手段得到的。见下例： 例1。自然数的求和公式： 。2)1(321+=++++nnn? 例2．自然数平方的求和公式： 。)12)(1(613212222++=++++nnnn? 要证明这些公式需要用数学归纳法。 这些公式都是对任意成立的，而有无穷多个，不可能一一验证。用数学归纳法却可以通过“有限”来解决“无限”的问题。nn 5. 数系的结构。 一．加法的法则。1．加法结合律：； cbacba++=++)()( 2．加法交换律：； abba+=+ 3．存在数0，对一切实数，有； aaa=+0 4．对一切实数，存在实数，使。ab0=+ab 二．乘法的法则。1．乘法结合律：； cabbca)()(= 2．乘法交换律：baab= 3．存在数1，对一切实数，有； aaa=?1 4．对一切非零实数，存在实数，使。ab1=ab 三．加法与乘法的分配律：对容易实数有cba,, 。acabcba+=+)(3 用抽象的语言说，全体实数构成一个集合，这个集合内有加法和乘法两种运算，这两种运算遵循上述九条法则。中学代数就是以它为基础展开的。认识到这一点对学习代数中较深入的知识是至关重要的。因为近世代数的主要内容是集合,以及集合上的代数运算,并且在同构下进行考察. 小结。初等代数为学生将来学习更高级的数学做了很好的准备。它完成了三项任务： 1．实现了从数值运算到符号运算的过渡； 2． 开启了变换的思想，暗示了不变量的存在； 3．引入了数学归纳法，给出了通过“有限”来解决“无限”问题的一种