优·第五章 定积分及其应用.ppt

曲线弧为 弧长 三、参数方程情形 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 变上限函数 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 第五章 定积分及其应用小结 定积分的应用 证 二、无界函数的广义积分 例4 计算广义积分 解 证 例6 计算广义积分 解 故原广义积分发散. 例7 计算广义积分 解 无界函数的广义积分 无穷限的广义积分 （注意：不能忽略内部的间断点） 三、小结 第六节 定积分的应用 1、平面图形的面积 2、旋转体的体积 3、平面曲线的弧长 1、 平面图形的面积 (1) 直角坐标情形 在这个公式中，无论曲线 在x 轴的上方或下方都成立，只要 在曲线 的下方即可。 面积元素 选 为积分变量 解: 由 得交点 解 两曲线的交点 选 为积分变量 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量可以选x也可以选y 设函数 在区间 上连续， 求由曲线 及直线 所围成的图形的面积. 的面积为 ,则近似于高为dy,底 为 的小矩形面积, 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上 于是所求面积为 从而得面积微元为 解 两曲线的交点 选 为积分变量 =18 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 (2) 参数方程所表示的函数 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． (3) 极坐标情形 2、 旋转体的体积 x y o 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 已知截面面积函数 的立体体积 体积微元： 整个立体体积 x y o 旋转体的体积为 例5：求由 所围平面 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴 旋转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 例6 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 绕固定轴旋转所成旋转体的体积 例7 求由 所围平面 3、平面曲线的弧长 一、平面曲线弧长的概念 弧长元素 弧长 二、直角坐标情形 解 所求弧长为 例4 设 , 求 . 解 例5 求 解 解　把被积函数化简. 例 6 计算 06年考过类似的题形, 见P155 四 1,2 例7：设 求 上的表达式。 类似题目06、07年考过 作业:P119 习题5-3 故 定积分的分部积分公式 定积分的换元公式 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式 四、定积分的计算 则有 定积分换元公式 一、定积分的换元法 定理1 假设函数 函数 满足条件: ) ( t x j = (1) (2) 具有连续导数, 且其值域 ; ) ( , ) ( b a = = b j a j 应用换元公式时应注意: （1） （2） 例1 解 在用“凑”微分的方法时, 不明显地写出 下限就不要变. 定积分的上、 新的变量 t , 注 或 例2 解 原式 这是半径为a的四分之一的圆的面积. 例3 计算 解 例4 解 法一 ò - 3 1 d ) 2 ( x x f ) ( t f ò = 法二 即 类似的题目：课本P122 例5 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子. 例5 证 由于 通常由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换. 作变换, 换元积分还可以证明一些定积分等式, 则 ò ò - - + = \ a a a x x f x f x x f 0 d )] ( ) ( [ d ) ( 可得: 由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得. 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 且有 则 则 ò ò - - + = a a a x x f x f x x f 0 d )] ( ) ( [ d ) ( 由 例6 证 (1) 三角函数的定积分公式 例7 设 证毕. ò 2 0 d ) (sin p x x f ò ú ? ù ê ? é ÷ ? ? ? è ? - - = t t f d 2 sin p 例 为正偶数 为大于1