《2013年高三复习第三讲正弦定理和余弦定理.docVIP

正弦定理和余弦定理 1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)ab∶c＝sin Asin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3．SABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 1．在ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)． A．5 B．10 C. D．5 2．在ABC中，若＝，则B的值为(　　)．A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)． A．30° B．45° C．60° D．75° 4．在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则ABC的面积为(　　)． A．3 B．2 C．4 D. 5．已知ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________． 解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：＝，即＝.c＝.答案　C 解析　由正弦定理知：＝，sin B＝cos B，B＝45°.答案　B 解析　由余弦定理得：cos A＝＝＝，0＜A＜π，A＝60°.答案　C 解析　cos C＝，0＜C＜π，sin C＝，S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.答案　C 解析　a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝＝－，故C＝150°为三角形的最大内角． 　　【例1】在ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断． 解　由正弦定理得＝，＝，sin A＝.a＞b，A＝60°或A＝120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 【训练1】 (2011·北京)在ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________. 解析　因为ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1， 联立解得sin A＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.答案　　2 考二　利用余弦定理解三角形 【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－. (1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求ABC的面积． [审题视点] 由＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解　(1)由余弦定理知：cos B＝，cos C＝.将上式代入＝－得： ·＝－，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.cos B＝＝＝－.B为三角形的内角，B＝π.(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，13＝16－2ac，ac＝3.S△ABC＝acsin B＝. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为ABC的