《三角形符必轲.docVIP

三 角 形 一、三角形的边与角 1、主要定理 ①三角形内角和定理：三角形三内角的和等于180°； ②外角定理：三角形每一个外角等于和它不相邻的两内角的和； ③不等定理：若三角形中的两边不等，则两边所对的角也不等，大边所对的角较大； ④不等定理的逆：若三角形的两角不等，则两角所对的边也不等，大角所对的边较大。 2、角的证明与计算 ①证明的主要内容：角的相等，角的互余（或互补），角的和、差、倍、分的等量关系； ②证明明与计算通常所用的主要知识：三角形（或多边形）的内角和定理；全等三角形、相似三角形的性质定理；共点圆的知识；三角形“五心”性质、尤其是外心、内心、垂心对于一边的张角公式； 3、举例 例1：在△ABC中，O为内心，点E、F都在大边BC上，已知BF=BA，CE=CA，求证：∠EOF=∠B+∠C。 讲解：如右图 证一：利用三角形内角和定理及等腰三角形性质证明； 证二：利用三角形内心性质和等腰三角形性质证明。 例2：在锐角△ABC中，AB为大边，AC为小边，O为外心，H为垂心，证明：∠OAH=∠C-∠B。 讲解：如右图 利用垂心的性质及外心对于一边的张角公式和三角形内角和定理证明（另外还可以推得锐角三角形外心、垂心关于角的一个有用关系∠OBH＋∠OCH=∠OAH）。 例3：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC、DC于F、E，O是△CEF的外心，求证明∠ABC=2∠OBD。 讲解：如右图 利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外心的性质证明。 例4：在△ABC中，∠A=70°，点I是内心，已知AC+AI=BC，求∠B的度数。 讲解：如右图 利用三角形内心性质及等腰三角形性质进行计算。 例5：两个等腰三角形的顶角互补，一个三角形的边长a、a、b（a＞b），另一个三角形的边长b、b、a，求它们的内角的度数。 讲解：将两个三角形拼成右图形状，利用等腰三角形性质计算。 二、三角形的全等 1、全等三角形的性质； 2、全等三角形的判定： 定理：两个三角形如果满足下列条件，则两个三角形全等 ①两边及夹角对应相等；②两角及夹边对应相等；③三边对应相等。 另补充：1°如果两三角形有两角及其中一个角的对边对应相等，则两三角形全等； 2°如果两三角形有两边及其中大边的对角分别对应相等，则两三角形全等。 证明：如右图，设AB= A′B′，AC=A′C′，且 AC＞AB、∠B=∠B′， 若BC≠B′C′，不防设 BC＞B′C′，于是在BC上 取一点C″，使B C″= B′C′，则△ABC″≌△A′B′C′，由题设知AC= A′C′= A C″，∠C= ∠AC″C，在△ABC″中，∠AC″C＞∠B，从而∠C＞∠B，于是AB＞AC，与题设AC＞AB矛盾，所以BC= B′C′，即C″与C重合，故△ABC≌△A′B′C′。 推论：1°在三角形中，等边对等角，等角对等边（见等腰、等边三角形）； 2°等腰三角形两腰上的高、中线及两底角的平分线相等； 3°若三角形的两高、两中线、两角平分线相等，则是等腰三角形。 补充定理：①若两三角形有两边相等而第三边不等，是第三边所对的角也不等，大边所对的角较大； ②若两三角形有两边相等而夹角不等，则夹角的对边也不等，夹角大的对边较大； ③两直角三角形的斜边相等而一锐角不等，则不等锐角所对的边也不等，大角所对的边较大； ④等腰三角形的底边上的中线、高线及顶角的平分线共线。 证明：两中线相等的三角形等腰， 如右图，设BE=CF，G是重心，连结 AG并延长交BC于D，AD也是BC边上 的中线，若AB≠AC，不妨设AB＞AC，则∠ADB＞∠ADC，在△GBD和△GCD中，BG＞CG，即BE＞CF，BE＞CF，与题设BE=CF矛盾，反之，若AC＞AB，同样证得CF＞BE，也与题设BE=CF矛盾，所以AB=AC。 3、全等形的证明及相关知识的应用（略）； 4、三角形的巧合点（五心）： ①外心：三角形三边中垂线交于一点—外心（证明略）。 简单性质： 1°三角形外心到三顶点的距离都等于三角形外接圆的半径； 2°三角形外心对于边的张角等于该边对角的2倍； 3°三角形外心是其中点三角形的垂心，反之亦然。 ②垂心：三角形三边上的高线交于一点—垂心（证明略）。 简单性质： 1°三角形的垂心、三高线足和三角形的顶点分别构成三组四点共圆； 2°三角形的垂心到顶的距离是外心到对边距离的2倍； 3°三角形的垂心是其垂足三角形的内心或旁心。 ③内心：三角形三内角平分线交于一点—内心（证明略）。 简单性质： 1°内心到三边等距； 2°设I是△ABC的内心，联结AI并延长交△ABC的外接圆于另一点M，则MI=MB=MC； 3°设I是△ABC的内心，则 ∠BIC=90°+∠A ∠CI