[高斯函数讲义--老师用.docVIP

知识概要 定义：设，用表示不超过的最大整数。则称为高斯函数，也叫取整函数。显然，的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，因此，，这里，为的整数部分，而为的小数部分。 2，性质 1，函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有； 2，，其中； 3，； 4，若，则其中； 5，对于一切实数有； 6，若，则； 7， 8，若，则；当时，； 9，若整数适合（是整数，），则； 10，是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个； 11，设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有： 。 证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，，当时，，所以命题成立。 高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。 解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。 解题示例 例1，若实数使得，求。 解：等式左边共73项，且因都小于1，则每一项为或，注意到 ，故必有。进一步有：，所以原式左边从第1项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。即： 例2，计算：的值。 解：由题意得：对于任意的， 说明：本例采用了分组凑整的思想。 例3，对自然数及一切实数，求证： 。 （厄尔密特等式） 证明：对任意的自然数，构造函数，则：，所以，函数为周期函数，其周期，因此，原命题只需证在区间内成立即可。而这一结论显然是成立的。 例4，对任意的，证明：。 证明：首先证明。令，则。 当时，，于是，那么 ； 当时，，即，那么。 所以命题成立，也就是：。故： 。 又： 注：本例的证明采用了“两边夹”法则。 例5，解方程。 解：令 ，则，带入原方程整理得：，由高斯函数的定义有，解得：，则。 若，则；若，则。 注：本例中方程为型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。 例6，解方程。 解：由高斯函数的性质，得：，即，令，在同一坐标系中画出二者的图象： 分析两者在区间内的图象， 显然，当时， 而，方程不成立；当 时， ；当时， ；当 时， 而，方程不成立。 综上所述，原方程的解是：。 注：本例为型方程。首先由，求出的取值区间。但此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用和的图象进行分析才能得到正确结果。 例7，解方程。 解：对于次数较高的含的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。 若，则原方程不成立； 若，则。原方程不成立； 若，则原方程不成立； 若，则原方程即为；解得：； 若，则原方程不成立； 所以，原方程的解为：。 例8，证明：若是大于2的质数，则被整除。 证明：本例采用“构造法”。 由二项式定理知：对于任意的是一个整数，又因为 ， 于是有： ,其中是质数。因为 都能被质数整除，所以原命题成立。 巩固练习 1．如果x为任意实数，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1] = -4，[]=1，则满足等式[x]-3=0的x的范围是____________。 2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x – y – z ]可以取值的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设[x]表示不超过x的最大整数，若M=，其中x≥1，则一定有（ ） A．MN B．M=N C．MN D．以上答案都不对。 4．给出下面三个命题： （1）[x + 1] = [x] + 1; （2）[x + y] = [x] + [y] （3）[x·y] = [x] · [y] 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．3 C．1 D．2 5．[x]表示取数x的整数部分，若 且当x = 1,8,11,14时，y = 1； x = 2,5,12,15时，y=2；,5,9,16时，y=3；,7,10,13时，y=0，则表达式中u等于（ ） A． B． C． D． 6．实数a,b满足关系式b =[a] + [a-2] – 1和b = [a] + 1的值一定是（ ） A．大于9而小于10 B．大于或等于9而小于10 C．大于9而小于或等于10 D．整数 7．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，[x] = |x| B．[x]≥ C．[x]-x D．[x] x – 1 8．记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且 A．I0 B．I0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现。 9．设x≥0，求证： 1