结构力学 叠加法.doc

2．6叠加法作弯矩图 当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。 例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。求梁的极值弯矩和最大弯矩。 解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x轴同一侧(见图f)。于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。叠加后的弯矩图仍为抛物线。如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。由平衡方程可求得支反, 剪力方程为 令即可求出极值弯矩所在截面的位置。 极值弯矩为 由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为 本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。 当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力和弯矩。由于轴力不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力，和梁端弯矩、，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。所以，如用叠加法做出了该筒支梁的弯矩图，即可得该段梁的弯矩图。此种叠加法，有时也称为区段叠加法。 例题2-10 利用叠加法做图示悬臂梁的弯矩图。 解：本例中梁的荷载可将梁分成、两段。梁各段控制截面上的剪力和 弯矩为 由上述控制截面的剪力、弯矩值，可画出每段梁的受力如例题2-10图（b)所示。 与各段梁的荷载相对应的简支梁如图(c)所示。按照叠加法我们可分别作出简支梁 AC和简支梁CD的弯矩图(见图(d))，将两段梁的弯矩图合并即得图(e)所示的悬臂 梁的弯矩图。 平面刚架是由同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接(受力后夹角不变)而组成的结构。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，还有轴力。因刚架是由不同取向的杆件组成，为了能表示内力沿各杆轴线的变化规律，习惯上约定：刚架截面上的弯矩如使刚架的内侧纤维受拉，则该截面上的弯矩规定为正(剪力、轴力的正负号规定同前)，弯矩图画在各杆受拉的一侧，不注明正负号。 剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧(通常正值画在刚架外侧)，但需注明正负号。 具体画图时，可采用上节叠加法做弯矩图时所介绍的方法，即将刚架分段，把各段杆的端面及刚架结点处的截面作为控制截面，求出其上的内力值。在将各段杆简化为简支梁后可运用叠加法画出各段杆的内力图，最后合并为整个刚架的内力图。 例2-11 例2-11图（a)所示下端固定的刚架，其轴线平面内受荷载如图，试作 刚架内力图。 AB段及BC段杆对应的简支梁如例题2-11图(b)、图(c)所示。刚架的内力图如例题2-11图(d)、图(e)、图(f)所示。 对于本例题，也可将刚架分段仿照梁的内力图的作法。这时决定杆截面位置的x坐标应改为流动坐标，如图(a)所示。在本例中，由于A点系自由端，为避免求支反力的麻烦，坐标原点先从A点算起，分别求出各段杆的内力方程，各段杆的内力图即可随之绘出(建议读者自行练习)。曲杆内力图的绘制方法与此类似。 例题2-12 一端固定的半圆环受集中力P作用，试做此曲杆弯矩图。 解：以极坐标来表示杆横截面的位置。如图(a)所示，表示m-m截面的位置，其上的弯矩的正负号通常规定为：使曲杆的曲率增加(外侧纤维受拉)的弯矩为正。按照这一规定 M()=Px=PR(1-cos)