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离散傅里叶变换 如图P3-1所示，序列是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。 图 P3-1 解： 由 计算求得 , , , , 设， ，试求，并作图表示，。 解： 由 计算求得 , , , , ，如图P3-2所示。 图 P3-2 设，令，，试求与的周期卷积并作图。 解：在一个周期内的计算值 N 1 2 3 4 5 0 0 0 1 1 1 1 0 14 1 0 0 1 1 1 1 12 2 1 0 0 1 1 1 10 3 1 1 0 0 1 1 8 4 1 1 1 0 0 1 6 5 1 1 1 1 0 0 10 已知如图P3-4(a)所示，为｛1，1，3，2｝，试画出，，，，，等各序列。 解：各序列如图P3-4（b）所示。 图 P3-3 图 P3-4（a） 图 P3-4（b） 试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）： (1) (2) (3) (4) (5) 解： （1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 所以 （5）由，则 根据第（4）小题的结论 则 所以 如图P3-6(a)画出了几个周期序列，这些序列可以表示成傅里叶级数 问： 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的成为实数？ 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的）（除外）成为虚数？ 哪些序列能做到＝0，k=±2，±4，±6，… 图 P3-6（a） 解： （1）要使为实数，即要求 根据DFT的性质，应满足实部偶对称，虚部奇对称（以n=0为轴）。又由图知，为实序列，虚部为零，故应满足偶对称 即是以n=0为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。 如图P3-6(b)所示。 图 P3-6（b） （2）要使为虚数，即要求 根据DFT的性质，应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0为轴）。又已知为实序列，故 即在一个周期内，在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。 （3）由于是8点周期序列，对于第一个序列有 当 对于第二个序列有 当 对于第三个序列有 根据序列移位性质可知 当 综上所得，第一，第三个序列满足 在图P3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。 图 P3-7（a） 解： 结果如图P3-7(b)所示。 图 P3-7（b） 图P3-8(a)表示一个5点序列。 （1）试画出； （2）试画出； 试画出； 图 P3-8（a） 解： 个小题的结果分别如图P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。 图 P3-8（b） 图 P3-8（c） 图 P3-8（d） 设有两个序列 各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为，问的哪些点（用序号n表示）对应于应该得到的点。 解： 序列的点数为N1=6，y(n)的点数为N2=15，故的点数应为 又为与的15点的圆周卷积，即L=15。所以，混叠点数为N-L=20-15=5。 即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列时，一个周期内在n=0到n=4(=N-L-1) 这5点出发生混叠，即中只有n=5到n=14的点对应于应该得到的点。 已知两个有限长序列为 试作图表示，以及。 解： 结果如图P3-10所示。 图 P3-10 已知是N点有限长序列，。现将长度变成rN点的有限长序列 试求rN点DFT［y(n)］与X［k］的关系。 解： 由 可得 所以在一个周期内，的抽样点数是的r倍（的周期为Nr），相当于在的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，与相等。 已知是N