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科目：数学 年级：初三 教师：张立平 2005——2006学年第二学期第七周 第三章 圆 主要知识介绍 点在圆外 d＞R d=R 点在圆内 d＜R 轴对称 垂径定理及推论 基本性质 中心对称 圆心角、弦、弦心距的关系 圆周角定理及推论 本周学习导航 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系； 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个 圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一； 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半 径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的 圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 重难点分析 垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. （1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据； （2）有关圆的证明题，常常与圆心角、弧、弦密不可分。因此，认识它们之间的关系是非常必要的。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。通过此定理，可以很清楚地表明这些量之间的关系。同时应注意，这里所说的弧必须同指“劣弧”或者同指“优弧” . 型例题与分析 【例1】在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm，BC=4cm，若以C为圆心，以3cm为半径作圆，则点A在⊙C ，点B在⊙C ，斜边上的中点D在⊙C . 分析：AC=3cm = r ，AC在⊙C上； BC=4cm r ，BC在⊙C外； ，DC在⊙C内. 【例2】⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是 。 分析：如图：当点P与点A或B重合时，OP最长； 当点P在AB的中点上时，OP最短. 故作OC⊥AB，垂足为C，则， ∴3≤OP≤5 【例3】如图，△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD=BC，则∠BDC= . 分析：图中有AB=AC=AD，故点B、C、D在 以点A为圆心，AB为半径的圆上(如图所示)， ∴ 【例4】[2002.河北] 如图.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（ ）. A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm 解：过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=CD=4，由勾股定理得OM=3， 而AB两点到CD的距离和等于OM的2倍 ∴选D 【例5】如图，在⊙O的内接△ABC中，AB=AC，经过点A的弦与 BC和BC分别相交于点D和E. 求证：AB2=AD·AE. 证明： 连结BE，两三角形中已有一对公共角∠BAE， 由AB=AC 可知 ∠1=∠C， 而∠C=∠E(同弧所对的圆周角相等)， ∴ ∠1=∠E， ∴ △ABD～△AEB， ∴ AB2=AD·AE 【例6】 [2002.陕西] 已知，如图. BC为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A⌒ 是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E. 求证：BE?BF=BD?BC 试比较线段BD与AE的大小，并说明道理. 解： （1）连结FC，则BF⊥FC. 在△BDF和△BCF中， ∵∠BFC=∠EDB=90 ， ∠ FBC=∠EBD， ∴△BDE∽△BFC， ∴ BE∶BC = BD∶BF. 即 BF?BE=BD?BC. （2） AEBD , 连结AC、AB 则∠BAC=90. ⌒ ⌒ AF = AB, ∴∠ABF=∠ACB. 又∵∠ACB+∠ABC=90， ∠BAD+∠ABD=90， ∴∠ACB=∠BAD， ∠ABF=∠BAD， ∴ AE=BE. 在Rt△EBD中， BEBD， ∴AEBD. 五、双基训练 A组 一、