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最优化理论运输问题的案例.
运输问题
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：
以下题为例：
产地
销地 产量 4
12
4
11
16 2
14
3
9 10 8
5
11 6
22 销
量 8 14 12 14 48
一、求最小运费
1、最小元素法
从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
产地
销地 产量 4
12
4
10 11
6 16 2
8 14
3
2 9 10 8
5
14 11 6
8 22 销
量 8 14 12 14 48
最小运费为：
西北角法
从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按行（列）标下一格的数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
产地
销地 产量 4
8 12
8 4
11
16 2
14
6 3
4 9 10 8
5
11
8 6
11 22 销
量 8 14 12 14 48
最小运费为：
Vogel（沃格尔）法
计算出各行各列中最小元素和次小元素差额（罚数），并标出。
在罚数最大的行和列中填上尽可能大的数（若有两个罚数最大，则选择最大罚数所在行或所在列运费最小的）。
若有行或列饱和，划去。
重复以上步骤。
产地
销地 产量 行罚数 1 2 3 4 4
12
4
12 11
4 16 0 0 0 7 2
8 14
3
9 10 1 1 1 6 8
5
14 11
6
8 22 1 2 销
量 8 14 12 14 48 列
罚
数 1 2 5 1 3 2 2 1 3 3 2 1 2 4 1 2
二、检验是否是最优解
闭回路法
闭回路：从空格出发，遇到数字格可以旋转90度，最后回到空格所构成的回路；
原理：利用检验数的经济含义；
检验数：非基变量增加一个单位引起的成本变化量。
当所有非基变量的检验数均大于或等于零时，现行的调运方案就是最优方案，因为此时对现行方案作任何调整都将导致总的运输费用增加。
闭回路法的主要缺点是：当变量个数较多时，寻找闭回路以及计算两方面都会产生困难。
产地
销地 产量 4
12
4
10 11
6 16 2
8 14
3
2 9 10 8
5
14 11 6
8 22 销
量 8 14 12 14 48
检验数
，故知该最小元素法的解不是最优解。
对偶变量法
原问题检验数：
特别对于m+n-1个基变量，有
当 为基变量时，
由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有的，。
再根据求出所有非基变量的检验数。
产地
销地 产量 行罚数 1 2 3 4
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