最优控制上机作业..docVIP

最优控制上机作业 二级倒立摆稳定控制仿真实验 倒立摆系统在控制系统研究中受到普遍重视。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机地结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。近代机械控制系统中，如直升机、火箭发射、人造卫星运行（变轨等）及机器人举重、做体操和行走机器人步行控制等，都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题。 1.作业题目 二级倒立摆系统由以下部分组成：有效长度为90cm的光滑导轨，可以在导轨上来回移动小车，材料为铝的摆杆铰接在小车上，二级摆杆以同样的方式与一级摆杆相连，它们的铰接方式决定了它们在竖直平面运动，一级摆杆和二级摆杆规格相同，有效长度为525cm。小车的驱动由一直流力矩伺服电机和同步带传动系统组成，小车相对参考点（即导轨的中心位置）的相对位移x由电位器和测量传动带得到，一级摆杆与竖直方向的夹角由固定在一级摆杆和小车铰接处的电位器1测量得到，二级摆杆与竖直方向的夹角由电位器通过测量两个摆的角度差而间接得到。直流伺服电机产生驱动力F使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到二级倒立摆系统的平衡。 2.二级倒立摆数学模型的建立 为了进行线性控制器的设计，首先需要对被控系统进行建模。二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设： 1）每一级摆杆都是刚体。 2）在实验过程中同步带长度保持不变。 3）驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车。 4）实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。 图1：二级倒立摆系统 如上图1所示的二级倒立摆系统，根据牛顿力学理论建模： 对于由小车和上下摆组成的整个系统，在水平方向上有： （1） 对于下摆杆受力分析后，根据其在转动方向上力矩平衡，可得器旋转方程式： （2） 对于上摆杆受力分析后，根据其在转动方向上力矩平衡，可得器旋转方程式： （3） 以上三个等式构成了二级倒立摆系统动力学方程，经整理可得： （4） 式中 ， 上式中各参量的意义及参数值如下表表1所示： 表1：二级倒立摆系统的结构参数表 参数 参数值 意义 M0 1.3280 小车及驱动系统的等效质量（kg） M1 0.22 下摆质量（kg） M2 0.187 上摆质量（kg） J1 0.004963 下摆转动惯量（kg*m2） J2 0.004824 上摆转动惯量（kg*m2） l1 0.304 下摆质心至轴心的距离（m） l2 0.226 上摆质心至轴心的距离（m） L1 0.49 下摆轴心至上摆轴心的距离（m） F0 22.915 小车系统的摩擦系数（N*m*s） F1 0.00705 下摆摩擦阻力系数（N*m*s） F2 0.00264 上摆摩擦阻力系数（N*m*s） G0 11.887 力与控制电压之比（N/V） 3.二级倒立摆数学模型的线性化 在平衡点和附近对上述方程线性化，即假设，，得： （5） 式中 ， 定义状态变量 ， 那么利用等式（4）和（5）我们就可以构造出原系统和线性化后的系统的状态方程 式中 ，， ，，。 由于原非线性系统存在较为复杂的正余弦函数求逆，这里仅给出后面求最优控制率所需要的线性化后的系统的具体的A,B,C矩阵的值 ， （6） ， 4.最优控制率的设计 在进行线性化之后，对线性化后的系统进行最优控制率的设计。本次作业中分别使用了线性二次型状态控制器（LQR）和线性二次型输出控制器（LQY）来对二级倒立摆系统进行稳定性控制。 1）线性二次型状态控制器（LQR） 设状态反馈调节器的输入形式为，通过使性能指标函数达最小，从而求得最优的状态反馈增益阵。此处状态控制器设计的最优性能指标为： ， （7） 根据无限时间状态调节器的相关定理可知： 由于此处线性化后的系统A,B,C阵均为常数阵，故存在一个P阵满足Riccati方程： , （8） 求解出对应的P阵后，，进而可得到状态反馈的输入。 2）线性二次型输出控制器（LQY） 设输出反馈调节器的输入形式为，通过使性能指标函数达最小，从而求得最优的状态反馈增益阵。此处输出控制器设计的最优性能指标为： ， （9） 利用，将上式（9）转换为： ，