《数学椭圆.docVIP

一. 本周教学内容： 椭圆及其标准方程及几何性质 ? 二. 重点、难点 1. 椭圆定义及标准方程 定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两点F1F2称为椭圆焦点。两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。 注意： （1）定义用集合语言，平面内点集P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a|F1F2|}，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 （2）当2a=|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当2a|F1F2|时，轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程 （1）方程推导 （2）方程： 注意： （1）推导过程分四步： ①建系； ②写出点集； ③坐标化； ④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2） （2）当且仅当椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上时，椭圆方程才有标准式。 （3）两种方程中总有ab0，哪个变量的分母大，焦点就在相应的坐标轴上。 3. 椭圆的几何性质 （1）范围： 由方程 （2）对称性： ①由图得，关于x轴、y轴和原点对称。 ②由方程得同样结论。 （3）顶点（±a，0），（0，±b） ? 【典型例题】 例1. F1、F2是椭圆4x2+5y2=20的两个焦点，过F1作倾斜角为45°的弦AB，求△F2AB的周长和面积。 解： ? 例2. 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程。 （1）长轴长是短轴长的两倍，且过点（2，-6）； （2）x轴上一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为6。 分析：解此类问题的基本方法是“待定系数法” 由a=2b及（2，-6）是椭圆上的点，可解得椭圆方程为 ? 例3. 分析：已知椭圆经过两点，求它的标准方程，一般需分焦点在x轴上和焦点在y轴上时，椭圆焦点在x轴上，当BA时，椭圆焦点在y轴上，则可避免讨论。 解： ? 例4. 如图所示，原点O是线段AB的中点，已知定圆A的半径为2a，点B在圆A内部，AB=a，现有动圆M过点B且与圆A相切，求满足此条件的△MAB面积的最大值。 ? 例5. 的圆过椭圆的左焦点F，求实数m的值。 分析：对“以AB为直径的圆过点F”可有两条途径去证： 二是证明以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0过F。 解： 此时方程（*）的判别式△0 小结：有关直线与二次曲线问题，常用“韦达定理”，此题是一个典型例题。另外，有关圆的问题，要注意结合圆的几何性质解题，这样常常起到事半功倍的作用。 ? 例6. 解：设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，M到左、右准线的距离分别为d1、d2 ? 例7. 根据下列条件，求椭圆的标准方程： （2）在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点连线互相垂直，且此焦点到与它对应的准线的距离为2。 解： ? 例8. 已知A、B是直线l上的两个定点，点P在l上的射影M在线段AB上，且满足 分析：题中未给出坐标系，需恰当建立直角坐标系，由于题中已给出了动点P运动的几何条件，因而应按照“直接法”求轨的方法步骤进行解题。 解：建立如图所示的直角坐标系， ∵点M在线段AB上， 整理后，得x2+2y2=a2。 ∴P点的轨迹是椭圆。 小结：要把“求轨迹”（曲线）与“求轨迹方程”（方程）区别开来。 ? 例9. 并延长OP至Q，使|PQ|=|OP|，求动点Q的轨迹方程。 分析：题中出现了“双动点”（P与Q），由于其中一个动点P的轨迹是已知的坐标与P点坐标的关系即可。 解： ∴P点是线段OQ的中点 此方程即为Q点的轨迹方程。 小结：若在一个问题中，存在两个动点P(x0，y0)，Q(x，y)，当P点的轨迹方程是已知的，设为F(x，y)=0，即F(x0，y0)=0，此时，只需