教学反思解概率题常见错误剖析..docVIP

教学反思——解概率题常见错误剖析 浙江省湖州中学 蒋际明 在概率学习中，由于它具有与其它数学分支不一样的、独特的概念和分析方法，学生往往会感到很不习惯，入门会有一定困难．在解概率问题时，由于对某些概念或公式理解不透彻，考虑不周全、选择概率模型不正确等原因，经常会造成一些表面看起来正确而实际上错误的解法，下面就结合本人所教学生在解概率题时出现的错误，具体地加以剖析． 一．对古典概型的概念理解模糊 例1 　　错解之和2，3，4，，10共11种，所以概率为． 剖析 以上11种不是等可能的，如点数和只有(，)，而点数之和为有(，)、(，)、(3，)、(4，)共种．种取法，两数之和等于7的取法有4种． 故所求的概率 ．种方法，而倒出奇数粒球共有种方法，因此倒出奇数粒小球的概率是． 剖析 对古典概型的基本事件总数的理解错误， “将4粒大小相同而颜色不同的小球每次倒出若干个” 这一试验中所含的基本事件总数是16，包括一个都没有倒出的情形． 正解 每次倒出若干小球共有种方法，而倒出奇数粒球共有种方法，因此倒出奇数粒小球的概率是． 也可以选用独立重复试验的概率模型，因为每一粒球被倒出或不被倒出的概率均为，所以倒出奇数粒小球的概率是． 二．对事件之间的关系概念混淆 例3 抛掷一均匀的正方体玩具，各面分别标有1，2，3，4，5，6，事件表示朝上一面的数是奇数，事件表示朝上一面的数不超过3，求事件或事件发生的概率． 错解 ，， 事件或事件发生的概率为． 剖析 此解法错误在于忽视了“事件和”的概率公式成立的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件，即出现1或3时，、同时发生，所以不能应用求解. 正解 把事件或事件发生分成“出现1，2，3”与“出现5”这两个事件，记出现“1，2，3”为事件， “出现5”为事件，则与为互斥事件， 而，， 所以事件或事件发生的概率为． 例4 第一的概率为 ，第的概率为，第的概率为，第的概率为，那么的概率是多少错解 分别记第一、二、三、四为事件A、、、，，，，，4次内的概率为 ． 剖析 本题错解的原因在于把事件A、、、第二等等，而实际上由题意知事件B为“第二第二第第彼此互斥4次内． 正解 分别记第一、二、三、四为事件A、、、，则且，，，所以4次内的概率为． 条件概率积事件的概率混同 例5． 剖析 解题的错误是由于对条件概率的定义理解不深刻，“第一次取得正品后第二次又取得正品的概率”与“在第一次取得正品的条件下，第二次取得正品的概率”的意义是不相同的，前者是积事件的概率，而后者的意思是在第一次取得正品已经预先发生的条件下，再来进行第二次试验而取得正品的条件概率． 正解 第一次取得正品的条件下，第二次取得正品的概率为 ． 例袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率． 错解 记第一次取到白球为事件A第二次取到黄球为事件B第二次才取到黄球为事件C， 所以剖析 本题错误在于的含义没有弄清第二次才取到黄球第一次取到白球第二次取到黄球正　第二次才取到黄球 ． (B) (C) (D) 错解 因为题中“恰有一个中奖”，根据次独立重复试验恰好出现次的概率计算公式得，故选D ． 剖析 此解错误的原因是对独立重复试验理解不透，用错了公式，使用独立重复试验的概率计算公式时，它有三个前提条件：（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；（2）每一次试验都是彼此独立的；（3）每一次试验出现的结果只有事件发生或者事件不发生两种情况，只有这三个条件均满足才可使用．而此题中3个购买者去购买奖券时，是不放回的抽样，前一个购买者中奖与否，会影响到下一个购买者中奖的概率，所以彼此之间是不独立的，故不能用上述解答． 正解 3个人从10张奖券中各购买一张奖券可能出现的结果总数为个，且出现的可能性均等，而出现恰好有一人中奖的结果总数为个， 所以恰好有一人中奖的概率，故选C. 例8 已知某种型号的灯泡寿命在年以上的概率为，寿命在年以上的概率为．某单位在使用过程中，从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．那么在第二次灯泡更换工作中，这种灯泡需要更换的概率是多少？ 错解 对于这种灯泡来说，在第、次都更换的概率为；在第一次不更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为， 故所求的概率为 ． 剖析 该解答是错误的，原因是对对立事件概率计算公式的意义考虑不周造成的，由于是表示“灯泡寿命不大于年”的概率，它与事件“灯泡寿命在年以上”不是互相独立的，而上面的解答中却把错误地理解成了“灯泡寿命介于年与年之间的概率”了．事实上，在第二次灯泡更换工作中，按这种灯泡是否被更换的状况，可分为“