攀枝花三中球体分析..doc

高二数学 立体几何 正四面体 攀枝花学院 汇编：范文桥 正四面体的性质：设正四面体的棱长为，则这个正四面体的 (1)全面积????? S全= ； (2)体积? ??????V=； (3)对棱中点连线段的长??? d= ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角??? = (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为= (7)外接球半径????? R= ； (8)内切球半径??? r= . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质：有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=,OB=,OC=.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积??? V= ； ④底面面积S△ABC=； ⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC； ⑥S2△BOC+S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ⑦ ; ⑧外接球半径??? R= ； ⑨内切球半径? r= 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，。正四面体的外接球和内切球的半径是多少？解：如图所示，设点是内切球的球心正四面体棱长为．由图形的对称性知点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．正四面体的表面积．正四面体的体积 ， 在中，，即，得， 【点评】，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径建立棱长与半径之间的关系。 二、球与棱柱的组合体问题 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。 如图3，截面图为正方形的内切圆，得； 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。 例2.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是. 练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得 ， ， 练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。 球的表面积 体积 与正四面体的练习一 1．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为(　　) A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π)(3π＋2) 2．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于(　　) A．2 B. C. D. 3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.πa2 C. πa2 D．5πa2 4．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为(　　) A．7 B．6C．3 D．9 5．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为(　　) A.π6 B.π2 C．π2 D．5π12 二、填空题 . 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为________． ．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________． ．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为________． 三、解答题 ．已知正四棱锥S－ABC