控制系统的频域分析..doc

控制系统的频域分析 由于求解高阶系统时域响应十分困难，时域分析法主要适用于低阶系统的性能分析，在高阶系统的性能分析中，应用时域分析法较为困难。频域分析法主要适用于线性定常系统，是分析和设计控制系统的一种实用的工程方法，应用十分广泛。它克服了求解高阶系统时域响应十分困难的缺点，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的稳定性，分析系统参数对系统性能的影响，在控制系统的校正设计中应用尤为广泛。 频率特性是频域分析法分析和设计控制系统时所用的数学模型，它既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）方便地转换过来，或用实验法来确定。 本章介绍频率特性的基本概念、典型环节和系统的开环频率特性、乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性、由系统开环频率特性求闭环频率特性的方法、系统性能的频域分析方法以及频率特性的实验确定方法。 5-1频率特性及其与时域响应的关系 频率特性的基本概念 在上几章，讨论了阶跃、斜坡、抛物线以及脉冲等函数的输入信号对控制系统的作用。现在考虑另一种重要函数—正弦函数作为输入信号对系统的作用。 例如对于图5-1所示的典型一阶系统，系统的闭环传递函数为： r(t) c(t) 图5-1 典型一阶系统 若输入为一正弦信号，即：r(t)=R0sinωt，则： 经拉氏反变换，得： 系统的输出c(t)由两项组成，第一项为瞬态分量，其值随着时间的增长而趋于零，第二项为稳态分量，它是一个频率为ω的正弦信号。当时间t趋于无穷时，稳态分量即为系统的稳态输出，说明在正弦信号作用下系统的稳态输出为一个频率为ω的正弦信号。 可以证明，对于一个稳定的线性定常系统，在其输入端施加一个正弦信号时，当动态过程结束后，在其输出端必然得到一个与输入信号同频率的正弦信号，其幅值和初始相位为输入信号频率的函数。 对于图5-2所示一般线性定常系统，可列出描述输出量c(t)和输入量r(t)关系的微分方程： (5-1) r(t) c(t) 图5-2 一般线性定常系统 与其对应的传递函数为： (5-2) 如果在系统输入端加一个正弦信号，即： r(t)=R0sinωt (5-3) 式中, R0是幅值, ω是频率。由于： (5-4) 所以： (5-5) 其中si为系统的闭环极点，Ci、B、D为常数，对式（5-5）进行拉氏反变换，可求得系统的输出，其稳态分量为： CS(t)=Be-jωt+Dejωt （5-6) 其中： 故稳态分量为： (5-7) 对于稳定的系统,瞬态分量随着时间的增长而趋于零，稳态分量CS(t)即为系统的稳态响应，可见系统的稳态响应为与输入信号同频率的正弦信号，定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω),相位之差为相频特性φ(ω),则有: (5-8) (5-9) 频率特性是指系统的幅频特性和相频特性,通常用复数来表示,即: (5-10) 显然，只要在传递函数中令s=jω即可得到频率特性。可以证明，稳定系统的频率特性等于输出量富氏变换与输入量富氏变换之比。 s=d/dt jω=d/dt s=jω 图5-3 微分方程、频率特性、 传递函数之间的关系 对于不稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，其输出信号的瞬态分量不可能消逝，瞬态分量和稳态分量始终存在，系统的稳态分量是无法观察到的，但稳态分量是与输入信号同频率的正弦信号，可定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω),相位之差为相频特性φ(ω)。据此可定义出不稳定线性定常系统的频率特性。 式（5-8）、（5-9）、（5-10）同样适用于不稳定的线性定常系统，差别在于，系统不稳定时，瞬态分量不可能消逝，瞬态分量和稳态分量始终存在，所以不稳定系统的频