M矩阵的性质定理及证明.docVIP

M矩阵的性质、定理及证明 一、M矩阵的概念 定义1 设，且，，，称A为M矩阵。 定义2 设，且，若为M矩阵，则称A为逆M矩阵。 引理1 如果，且，，A为M矩阵的充要条件是A可做三角分解，,其中L为下三角阵，R为上三角阵，L和R的主对角元都是正值。 二、M矩阵的判定定理与证明 定理1 若为M矩阵，则，其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。 证明 若A为M阵，则当，；，。由引理1，A可做三角分解。设 ， 则， 故。 因，故；因故；因，故，从而；因，故。类似的有，（）。又因有及故相应有，。类似的有，（）。 假设时有，，（），当时，由于，故。又由于，故；类似的可得到，（）。证毕。 定理2 设，的代数余子式为，，如果则为M矩阵的充要条件。 证明 必要性：如果为M矩阵，由于，故 。 充分性：由于，且，，就由定义1知为M矩阵，证毕。 定义3 设有n阶矩阵，如果存在正向量X（即它的分量都是正值），使得成立，则称A为拟对角占优。 引理2 设，满足，并且矩阵为拟对角占优，则A为M矩阵。 定理3 设，如果 则A为M矩阵（其中）。 证明 若 对 皆成立，则由定义3 知为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵，为此，只需证明对某个有的情形。不失一般性，不妨设。由 ,可得 用乘以矩阵B的第一列，得新矩阵，则有 ， 再假设，用r乘以矩阵的第二列得到新矩阵，则有 ， ， ， 于是为强对角占优，故B为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵。 定理4 设，设 ， ， ， ， 若对任意，恒有，则A为M矩阵。 证明 令：， 由于，故，取 做 得，则当时，有， 如果，显然有 。 当时有 ， 于是知为强对角占优矩阵，由定义3知B为拟对角占优矩阵，因此，根据引理2知A为M矩阵。证毕。 定理5 如果存在正对角阵D，使AD为拟对角占优阵，则A为拟对角占优阵。 证明 因为存在正对角阵D，使为拟对角占优，则存在正对角阵，使为强对角占优。又因仍为正对角阵，故A为拟对角占优阵。证毕。 定理6 设，且对任意的有 （1） 并且对全体等号成立的，存在非零元素链 ，使得 成立，则A为M矩阵。 证明 由于，故。取 ， 做得，则当时，有 如果，显然有 。 当时，有 ， 反之，若对使式（1）成立的，存在非零元素链，使得 成立 则由前分析知为具有非零元素链的对角占优矩阵，并且通过文献知道为半强对角占优矩阵。故为拟对角占优矩阵，从而B为拟对角占优矩阵，由引理2知A为M矩阵。证毕。 参考文献[1].?[J].应用数学与计算机数学，1981（2）：48-54.?[2]游兆永.?非奇异M矩阵[J].?武汉：华中工学院研究生讲义1981.[3]胡玉臣.?非奇异M矩阵的快速判定方法及算法[J].长安大学学报,?.[4]同济大学应用数学系．[M].北京：高等教育出版社，2002:246-250.[5]毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.[6]钱吉林.?高等代数题解精粹[M].?第二版.?北京：中央民族大学出版社，2010:?112-224.[8]华东师范大学数学系.?数学分析[M].?第三版.?北京：高等教育出版社,?2008:?136-139.